Контрольные вопросы

1. Понятие «сплошности» среды.

2. Эйлеров способ описания движения жидкости.

3. Лагранжев способ описания движения жидкости.

4. Понятие субстанциальной и локальной производной.

2. Гидростатика

Рассмотрим случай покоящейся жидкости. Из уравнения Эйлера (1.1), положив , получим уравнение гидростатики

. (2.1)

При этом, если внешние силы потенциальны ( ), то уравнение (2.1) принимает вид . Заметим, что последнее уравнение имеет решение только в том случае, когда векторы и параллельны.

Примером потенциальной силы является сила тяжести. При этом (ось направим вертикально вверх). И уравнение, описывающее механическое равновесие жидкости (газа) в поле силы тяжести, выглядит следующим образом:

. (2.2)

Поскольку , то и являются функциями координаты , а они, в свою очередь, однозначно определяют температуру. Следовательно, при механическом равновесии в поле силы тяжести распределения давления, температуры и плотности зависят только от высоты.

Примеры решения задач

1. Найти распределение давления в покоящейся тяжелой несжимаемой однородной жидкости, занимающей область , на свободной поверхности которой ( ) действует атмосферное давление .

Решение: Запишем уравнение гидростатики (2.2). Направим ось декартовой системы координат вертикально вверх. В проекциях на оси декартовой системы координат уравнение (2.2) примет вид:

, .

Поскольку по условию задачи , то

.

Постоянная интегрирования определяется из граничного условия: . Следовательно, , и при произвольном давление определяется формулой

.

2. Доказать, что на тело, погруженное в тяжелую идеальную однородную неподвижную жидкость, со стороны жидкости действует подъемная сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом (закон Архимеда).

Решение: Рассмотрим произвольное тело объемом , ограниченное поверхностью , помещенное в идеальную однородную жидкость, находящуюся в поле силы тяжести. Со стороны жидкости на элемент поверхности тела действует сила , где - внешняя нормаль к поверхности. Полная сила, действующая на тело со стороны окружающей жидкости равна

.

Согласно следствию из теоремы Гаусса-Остроградского , следовательно, . Воспользуемся уравнением гидростатики (2.2) и условием однородности жидкости: , окончательно получаем:

,

что и требовалось доказать.

3. Определить зависимость давления идеального газа от высоты в поле силы тяжести в приближении изотермической атмосферы.

Решение: Запишем уравнение состояния идеального газа:

,

где - универсальная газовая постоянная, - молярная масса газа.

Для изотермической атмосферы ( ) проекция уравнения гидростатики (2.2) на вертикальную ось , направленную вверх, будет иметь вид:

.

Следовательно, плотность атмосферы спадает по экспоненциальному закону с высотой

,

и для давления получаем известную барометрическую формулу:

,

здесь и - соответственно плотность и давление атмосферы при .