Основные зависимости для расчета равномерного дви­жения в призматических руслах

Выведем уравнение равномерного движения жидкости применительно к турбулентному режиму, наиболее часто встречающемуся на практике.

Рассмотрим равномерное напорное движение жидкости в цилиндрической трубе с площадью живого сечения . Сечениями 1 - 1 и 2 - 2 выделим участок потока длиной L и отнесем его к произвольно выбранной плоскости сравнения О - О. Падение пьезометрической линии P - P в пределах выделенного участка выражает собой потерю напора h_f на трение по длине L (рис.1 - 1).

Из определения равномерного движения следует, что ускорения, а следовательно и силы инерции, равны нулю. Поэтому сумма проекций на любую ось всех внешних сил, приложенных к выделенному объему жидкости, должна быть равна нулю. Спроектируем эти силы на ось X - Х, совпадающую с направлением движения потока жидкости.

К внешним силам, действующим на выделенный объем жидкости, относятся

- сила тяжести, направленная вертикально вниз, и равная весу выделенного объема жидкости G = ...L.. Проекция этой силы на ось X – X G_x = G.sin;

• силы P₁ и P₂, давления на торцевые сечения выделенного участка потока со стороны жидкости, расположенной до сечения 1 - 1 и за сечением 2 - 2

P₁ = p₁.; P₂ = p₂.,

где p₁ и p₂ – гидродинамические давления в центре живых сечений (в т.т. 1 и 2).

Силы P₁ и P₂ проектируются на ось X – X без искажения, причем сила P₁ направлена в сторону движения жидкости, а сила P₂ – в противоположную сторону. Равнодействующая этих сил

P₁ - P₂ = (p₁ – p₂). ;

• силы давления стенок трубы на боковую поверхность выделенного объема жидкости – нормальные к этой поверхности. Проекции этих сил на направление движения равны нулю;

• силы сопротивления, обусловленные трением потока о стенки. Обозначив силу трения, приходящуюся на единицу поверхности соприкосновения потока со стенками, (иначе говоря касательное напряжение ”на стенке”) через _о , вычислим величину силы трения T в пределах выделенного отсека жидкости по формуле

T = _o..L,

где  - смоченный периметр.

Составив сумму проекций всех внешних сил на направление движения и приравняв ее нулю, получим:

G.sin  + P₁ – P₂ – T = 0

Учитывая ранее приведенные выражения для действующих сил, а также выражение (см. рис. 1 – 1), уравнение равновесия рассматриваемого объема жидкости можно представить так

..(z₁ – z₂) +.(p₁ – p₂) -_o..L = 0. (1 – 1)

Поделив все члены уравнения (1 – 1) на вес жидкости ..L и группируя все слагаемые с одинаковыми индексами, получим:

(1 – 2)

В левой части этого равенства имеем выражение пьезометрического уклона I_p при равномерном движении. Правую часть равенства (1 – 2) можно упростить, учитывая, что Тогда из равенства (1 – 2) будем иметь:

(1 – 3)

Теоретическими и экспериментальными исследованиями установлено, что при вполне развитом турбулентном движении (в квадратичной зоне сопротивлений) касательные напряжения пропорциональны квадрату скорости, т.е. , где  - некоторый коэффициент пропорциональности. Подставив выражение для _о в равенство (1 – 3), получим , откуда . Обозначив , расчетную зависимость для определения средней скорости равномерного напорного движения жидкости получим в следующем виде

, (1 – 4)

а для определения расхода жидкости – в виде:

. (1 – 5)

Зависимости (1 – 4) и (1 – 5) представляют собой две формы выражения расчетного уравнения равномерного напорного движения жидкости при турбулентном режиме. Для равномерного безнапорного движения жидкости, когда гидравлический уклон равен уклону дна канала, уравнение равномерного движения примет вид:

, (1 – 6)

или

. (1 – 7)

Коэффициент С, входящий в уравнения напорного и безнапорного движения жидкости при турбулентном режиме, имеет размерность корня квадратного из ускорения, т.е.

.

Уравнение равномерного движения жидкости было впервые получено Шези (Chezy) в 1775 г. и поэтому известно в литературе как формула Шези, а коэффициент С – как коэффициент Шези. В отличие от Шези, полагавшего значение коэффициента С постоянным, более поздними исследованиями было установлено, что коэффициент С изменяется в широких пределах и зависит от геометрических размеров потока (гидравлического радиуса) и шероховатости стенок труб или каналов (характеризуемой коэффициентом шероховатости n).

В качестве основной зависимости для определения коэффициента С используется формула Н.Н.Павловского

, (1 – 8)

где у - показатель степени, зависящий в свою очередь от гидравлического радиуса R и коэффициента шероховатости n, т.е. y = y(R, n) .

В некоторых гидравлических расчетах (в частности при расчете дорожных труб) для определения коэффициента С используется формула Маннинга

. (1 – 9)