3.6.2. Переходные характеристики

Переходной характеристикой непрерывной системы или ее элемента называется реакция системы или элемента на ступенчатый сигнал, описываемый единичной ступенчатой функцией при нулевых начальных условиях (рис. 3.19)

g(t) h(t)

1 g(t) h(t)

0 t 0 t

Рис. 3.19

Переходная характеристика может быть получена экспериментальным путем или аналитическим способом

h(t) = L^-1{H(s)},

где H(s) = W(s)L{1(t)} = W(s), W(s) - передаточная функция системы или элемента. Таким образом, h(t) = L^-1{}.

3.7. Частотные характеристики непрерывных систем автоматического управления

3.7.1. Общие положения

Существует два пути получения частотных характеристик: 1) экспериментально-физический, 2) теоретический.

Первый путь состоит в том, что на систему подается синусоидальный сигнал постоянной амплитуды и переменной частоты (рис. 3.20). На выходе системы в установившемся режиме будет иметь место также синусоидальный сигнал той же частоты, но другой амплитуды и с фазовым сдвигом по отношению к входному сигналу.

Итак, в непрерывном времени. Установившаяся реакция на выходе системы. Тогда отношениеназывается амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) системы, а зависимость- фазочастотной характеристикой системы (ФЧХ).

Второй путь заключается в использовании преобразований Фурье сигналов на входе и выходе системы. Последние определяются по преобразованиям Лапласа путем замены S = j. Если такую замену сделать в передаточной функции системы, придем к понятию комплексной передаточной функции (КПФ) системы

Зависимость модуля КПФ от частоты называется АЧХ системы

.

Зависимость аргумента КПФ представляет собой ФЧХ системы

.

Зависимости ReW(j) и ImW(j) называются вещественно-частотной (ВЧ) и мнимой (МЧ) характеристиками системы соответственно. ВЧХ и АЧХ совместно образуют амплитудно-фазовую характеристику системы (АФХ). Ее выражение следует из выражений ВЧ и МЧ характеристик

2. W(j) = ReW(j) + ImW(j) = U + jV.

АФХ является важнейшей характеристикой системы и часто снимается экспериментальным путем.

3.7.2. Построение частотных характеристик

Рассмотрим в качестве примера построение частотных характеристик непрерывного идеального интегрирующего элемента с передаточной функцией W(s) = k/s.

КПФ непрерывного интегрирующего звена

.

АФХ непрерывного интегрирующего звена

;

значитU() = 0, V() = k/. График АФХ представлен на рисунке. Он представляет собой прямую линию, совпадающую с отрицательной мнимой полуосью.

АЧХ интегрирующего звена A() = k/ представляет собой гиперболу. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) U() = 0. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) V() = k/ и представляет собой гиперболу в четвертом квадранте. Фазочастотная характеристика () = arctg(V()/U()) = arctg(k/0) = arctg(), т. е. () = /2 и не зависит от частоты.

Выражение АЧХ может быть найдено как . График АЧХ имеет вид гиперболы.

Построение графиков АЧХ и ФЧХ представляет собой непростую операцию. Выражения характеристик значительно упрощаются, если от действительных значений частот и амплитуд перейти к их логарифмам. Поступая таким образом, приходим к так называемым логарифмическим амплитудно-частотным и логарифмическим фазо-частотным характеристикам (ЛАЧХ и ЛФЧХ соответственно), удобным в инженерных расчетах и поэтому получившим всеобщее признание и широкое распространение.