1. Полное переходное уравнение состояния

X(n) = A(n)X(0) + .

Переходной характеристикой полностью дискретной системы называется реакция дискретной системы на единичную дискретную ступенчатую функцию.

Графическое представление входного сигнала и математическое описание дискретной ступенчатой функции имеет вид:

g_и*(n) = 1, n 0; g_и*(n) = 0, n < 0.

Z – преобразование дискретного входного сигнала G_и(z) = .

Z – преобразование переходной характеристики H(z) = D(z)G_и(z) = D(z), где D(z) – дискретная передаточная функция дискретной системы. Таким образом, h(n) = Z^-1{D(z)}.

g*_и

1

0 1 2 3 4 5 6 n

5.6. Частотные характеристики

Построение ЛАФЧХ дискретных систем и отдельных звеньев имеет свои характерные особенности. Они следуют из того факта, что выражения модуля и фазы КПФ дискретной системы являются функциями e^jT и не логарифмируются непосредственно. Кроме того, диапазон частот дискретных характеристик 0    /T не распространяется на всю ось абсцисс ЛАФЧХ непрерывных систем. Чтобы сделать выражения модуля и фазы логарифмируемыми и привести диапазон частот к подобному диапазону ЛАФЧХ непрерывных систем предварительно выполняется преобразование выражения ПФ дискретной системы с помощью подстановки . Эта подстановка называетсяw-преобразованием. Чтобы выяснить, как новая переменная w связана с обычной частотой , используем связь z = e^jT. Из формулы w-преобразования определяем

.

Используя формулу Эйлера e^j = cos + jsin, имеем

.

Окончательно имеем , где так называемая относительная псевдочастота. Нетрудно заметить, что при 0   /T относительная псевдочастота будет меняться в диапазоне 0   , т. е. Частотные характеристики дискретных систем, построенные в функции , будут подобны характеристикам непрерывных систем. На практике частотные характеристики дискретных систем строятся в функции не относительной, а абсолютной псевдочастоты = (2/T). Дело в том, что при малых (область низких частот) имеем

, а .

Это значит, что характеристики дискретных систем в области низких частот будут совпадать с характеристиками приведенной непрерывной части.

Посмотрим, как строятся ЛАФЧХ дискретных рассмотренных выше динамических звеньев: интегрирующего и апериодического 1-го порядка.

В ПФ дискретного интегратора вводим подстановку:

.

Далее принимаем w = j(T/2) и получаем

.

Выражение ЛАЧХ

.

Выражение ЛФЧХ

() =  arctg(T/2)  /2.

Графики ЛАФЧХ интегрирующего звена показаны на рис. 5.10.

Из графиков видно, что в области низких частот ЛАФЧХ дискретного интегратора совпадают с ЛАФЧХ непрерывного интегрирующего звена (наклоном –20 дБ/дек, фазовый сдвиг = /2. Существенное отличие характеристик имеет место в области высоких частот (нулевой наклон и фазовый сдвиг  =  ).

Перейдем к апериодическому звену 1-го порядка. Эквивалентная схема дискретного апериодического звена имеет вид (рис. 5.11).

Дискретная передаточная функция апериодического звена

=

. Для определения предварительно разложимна сумму простых слагаемых:=.

Тогда . Подставляем в общую формулуW_a(z):

.

Переходим к w-преобразованию W_a(z):

,

где . Подставимw = j(T/2) в выражение W_a(w):

.

Можно доказать, что . Поэтому.

Переходя к ЛАФЧХ, получим

_a() =  arctg(T/2)  arctgT₁.

ГрафикиL_а() и _a() показаны на рис. 5.12.

Как и для интегрирующего звена, так и для апериодического звена 1-го порядка наблюдается совпадение ЛАФЧХ в области низких частот и существенное различие в области высоких частот для непрерывного и дискретного режимов работы.

Аналогично описанному выше строятся ЛАФЧХ других дискретных звеньев и систем. Свойство совпадения ЛАФЧХ в области низких частот сохраняет свою силу и для других более сложных звеньев и систем, что позволяет использовать для дискретных систем методы анализа и синтеза, разработанные для непрерывных систем.

Отметим, что для сложной передаточной функции непрерывной части дискретно-непрерывной системы построение ЛАФЧХ может быть выполнено приближенным способом , допускающим полное совпадение характеристик непрерывной и дискретной системы в области низких частот 0    2/T.