5.3.3. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа называется определение временной функции f(t), для которой прямое преобразование Лапласа

.

Обратным Z-преобразованием илиназывается определение дискретной функции времениf(nT) (f[(n + )T]), для которой или.

Отметим ограничения, которые следует иметь в виду, выполняя обратное преобразование Лапласа или обратное Z-преобразование.

1. Не каждая функция F(s) имеет обратное преобразование. Существование обратного преобразования определяется необходимыми и достаточными условиями, накладываемыми на F(s).

2. Прямое преобразование Лапласа единственно для каждойf(t), имеющей такое преобразование. Обратное утверждение, в общем случае, несправедливо. Различные разрывные функции могут иметь одинаковое преобразование Лапласа. Например, единичная ступенчатая функция f(t) = = 0 для t < 0 и f(t) = 1 для t > 0 имеет преобразование Лапласа 1/s независимо от значения, принимаемого при t = 0.

3. Обратное Z – или Z_ - преобразование, если оно существует, позволяет определить лишь последовательность отдельных значений непрерывной функции-оригинала, существующих в моменты времени t = nT или t = (n + )T. Одной и той же последовательности дискретных значений f(тT) или f[(n + )T] может соответствовать множество огибающих f(t). Поэтому по обратному Z – преобразованию принципиально невозможно восстановить непрерывную функцию f(t).

Существует два общих практических способа определения обратных преобразований как для непрерывных, так и для дискретных систем.

1. Использование таблиц обратных преобразований Лапласа и обратных Z–преобразований, например в [6]. Если исходного F(s) и F(z) изображения нет в таблице следует использовать разложение его на сумму или произведение изображений, имеющихся в таблице.

2. Использование формулы обращения.

Для непрерывного изображения

.

Значение контурного интеграла определяется в открытом интервале, где f(t) ограничена и имеет конечное число точек экстремума и разрыва. Решение часто удается получить при помощи теоремы о вычетах:

,

где z₁, z₂, …, z_n особые точки .

Вычисление интеграла обращения как суммы вычетов широко используется в различных программных продуктах, используемых при компьютерном моделировании систем автоматического управления.

Для дискретного изображения формула обращения имеет вид

.

Контур интегрирования R должен охватывать начало координат плоскости Z и все особые точки подынтегральной функции. Как и в непрерывном случае, круговой интеграл обычно рассчитывается как сумма вычетов подынтегральной функции в особых точках:

.

N – число вычетов; N = q + 1 для n = q для n > 0, где q – число особых точек функции F(z,).

Вычеты вычисляются следующим образом:

- для простого полюса

;

- для кратного полюса кратности m

.

Кроме двух общих методов, в случае обратного Z–преобразования используется также разложение F(z,) в ряд по возрастающим степеням z^-1 в соответствии с основной формулой Z–преобразования

.

Когда F(z,) представлено рациональной дробью разложение по степеням z^-1 может быть выполнено простым делением числителя на знаменатель.

Пример. Пусть .

Получаемf(n) = 1 0.2 0.04 0.008.

При более сложных выражениях F(z) и F(z,) лучше использовать вычисление по рекуррентной формуле:

.

Здесь b₀, …, b_k, …, b_p – коэффициенты числителя F(z,) a₀, …, a_i, …, a_q – коэффициенты знаменателя F(z,). При q = p формулы значительно упрощаются

Аналогично преобразованию дифференциального уравнения непрерывной системы осуществляется Z-преобразование разностного уравнения дискретной системы.

Пусть дискретная система описывается уравнением

Подвергнем это разностное уравнение Z-преобразованию, принимая начальные условия нулевыми:

Записывая полученное уравнение в сжатой форме, получим

Беря отношения Z-изображений, получим передаточные функции дискретной системы по управляющему и возмущающему воздействиям:

.

Для дискретно-непрерывной системы определение дискретной передаточной функции выполняется на основе перехода от непрерывной передаточной функции приведенной непрерывной части к ее дискретному эквиваленту в Z-области. Покажем этот переход на примере разомкнутой дискретно-непрерывной системы с одним импульсным элементом на ее входе (рис. 5.7). На схеме .

Так как входной сигнал приведенной непрерывной части представляет собой сумму модулированных по площади входным сигналомg(t) -функций, выходной сигнал y(t) будет представлять сумму реакции ПНЧ на -функции; т. е. сумму функций веса ПНЧ

Если вместо непрерывного сигнала y(t) отмечать лишь его дискретные значения y(nT) или y[(n + )T], то получим решетчатую функцию y(n) или y(n, ):

Подвергнем эту решетчатую функцию модифицированному Z-преобразованию

С учетом теоремы свертки имеем

Таким образом

.

Здесь - дискретная передаточная функция разомкнутой дискретно-непрерывной системы. С одной стороны, она связываетZ-изображения дискретных сигналов, с другой стороны, она определяется как Z-форма передаточной функции приведенной непрерывной части.