Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих
|
|
|
|
|
|
подпространств есть множество {0}. |
|
|
!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!! |
||
Скалярное произведение и его простейшие свойства
Скалярное произведение - отображение |
2 |
, |
линейности по первому |
||||||||||||||||||||||||||
аргументу, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительной |
определенности и |
||||||||||
эрмитовой сопряженности, ( , |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
невырожденности, т.е. для любых α, β , |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(α |
|
+ β |
|
) = α · ( |
|
, |
|
) + β · ( |
|
, |
|
), |
|
|
|||||||||||||||
( |
|
, |
|
) = |
( |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
|
, |
|
) > 0 |
|
≠ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(0, |
|
0) = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Унитарное пространство – пространство над полем , в котором введено скалярное произведение.
Евклидово пространство – пространство над полем , в котором введено скалярное произведение.
Простейшие свойства скалярного произведения |
|
|
||
• При смене базиса значение скалярного произведения сохраняется. |
|
|||
• |
Полулинейность |
по |
второму |
аргументу |
( , α + β ) = α · ( , ) + β · ( , )
• Если один из множителей скалярного произведения – нулевой вектор, то скалярное произведение равно нулю.
Везде ДОКАЗАТЕЛЬСТВА!!!
Неравенство Коши-Буняковского |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|
| ( , )| ≤ |
( , ) · |
( , ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Назначение: введение Евклидовой нормы (доказательство неравенства треугольника), введение угла между векторами евклидового пространства.
Норма вектора, евклидова норма
Норма вектора – невырожденное положительно определенное абсолютно однородное отображение на множестве векторов векторного пространства,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначаемое || ||, |
|
для которого справедливо неравенство треугольника |
|||||||||||||||||
|| |
|
+ |
|
|| ≤ || |
|
|| + |
|| |
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Линейное нормированное пространство – векторное пространство, для элементов |
||||||||||||||||||
которого введена норма вектора. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. |
Евклидова норма вектора: отображение || |
|
|| = |
( |
|
, |
|
) является нормой вектора |
|
||||||||||
Назначение: обобщение понятия «длина геометрического вектора».
Матрица Грама базиса, ее невырожденность
Матрица Грама базиса = ( , 1, ) - квадратная матрица размера × ,
элемент i-ой строки и j-го столбца которой является скалярным произведением i-го базисного вектора на j-ый базисный вектор базиса .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формализация: |
( ) [ , ] |
|
= ( , ) |
||||||||||||||||||
( ) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
→ · |
· |
→ |
|
|
|
!!! |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|||||||||||||
( , ) |
= [ ] |
· |
· [ ] |
|
|
|
|||||||||||||||
Матрица Грама базиса, координатная формула для скалярного произведения
Координатная формула скалярного произведения (интернет): Если известны
координаты векторов |
→ |
→ |
→ → |
+ 1 2 |
(для |
|
ортонормированных |
|
( 1; 1; 1) и ( 2; 2; 2), то ( , ) = 1 2 + 1 2 |
|
|||
|
базисов) |
|
|
|
|
|
|
Матрица Грама при смене базиса |
|
|
|
|
|
||||
|
При |
замене |
базиса |
матрица |
Грама |
меняется |
по |
формуле: |
||
2 |
|
|
− матрицы Грама в базисах 1 |
и 2 соответственно, а |
это |
|||||
= 1 , где 1 и 2 |
|
|||||||||
матрица перехода от базиса |
1 к 2 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|