Угол между векторами, критерий ортогональности двух ненулевых векторов
Угол между векторами , относительно скалярного произведения в евклидовом пространстве – выражение вида:
, = ( , )
|| || · || ||
В унитарном пространстве понятия угла не вводится.
Корректность, т.е. ( ( , )/(|| || · || || )) [− 1; 1] следует из неравенства Коши-Буняковского.
Ортогональные векторы – векторы, угол между которыми равен π2
Критерий ортогональности ненулевых векторов: ненулевые векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!!
Система ортогональных векторов, ее линейная независимость
● Система ортогональных векторов – система векторов, в которой любые два различных вектора ортогональны. Система, состоящая из одного вектора, считается системой ортогональных векторов.
● |
Система ортогональных векторов не может содержать нулевой вектор. |
||
● |
Теорема о линейной независимости системы ортогональных векторов: система |
||
ортогональных векторов линейно независима. |
|
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|
● |
Следствие: если количество векторов в системе ортогональных векторов равно |
||
размерности пространства, то эта система является (ортогональным) базисом этого
пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!! |
|
|
|||||||||||
Теорема Шмидта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ортогонализация набора векторов – нахождение по системе векторов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( , |
1, ) |
||||||||||||||||||||
такой системы |
ортогональных |
векторов |
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
, |
|||||||||
( , 1, ) |
|
≤ |
|
что линейные |
|||||||||||||||||
оболочки, |
натянутые |
на |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|||||||||||
|
векторы |
этих |
систем, |
совпадают, |
|
|
|||||||||||||||
{ , 1, } = { , }
Теорема Шмидта: любой ортогональный базис подпространства размерности пространства размерности ≥ + 1, может быть дополнен до ортогонального базиса подпространства ≤ размерности + 1, где ≤
!!!ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!!