Матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе
Унитарная матрица - матрица , для которой выполняется равенство −1 = , где черта над матрицей означает комплексное сопряжение всех ее элементов, т.е.
[ , ] = + [ , ] = −
Если унитарная матрица содержит в качестве элементов только вещественные числа, то она называется ортогональной матрицей. Для таких матриц выполняется равенство
−1 =
Свойства:
Основное свойство матрицы унитарного оператора: существует ортонормированный базис пространства , на котором задан унитарный оператор , в котором его матрица унитарна, т.е.
Замечание: именно для использования свойства унитарности матрицы унитарного оператора в дальнейшем, в условиях теорем, рассмотренных далее, будет фигурировать именно ортонормироованный базис.
Теорема Шаля о классификации плоских движений
Теорема Шаля о классификации плоских движений
Для дальнейших рассуждений потребуется следующая лемма: матрица
является матрицей поворота на угол |
α |
= ( |
φ |
|
2 (φ/2) ) |
Лемма о диагонализуемом ортогональном операторе двухмерного пространства: если ортогональный оператор двухмерного пространства, не являющийся тождественным преобразованием или отражением относительно оси (осей) координат, диагонализуем над , то он представляет собой композицию поворотов и отражения относительно одной из осей.
Следствие (теорема Шаля): ортогональный оператор в двухмерном пространстве является либо тождественным отображением, либо плоским поворотом относительно начала координат, либо симметрией относительно одной из координатных осей, либо их композицией
Каноническая форма ортогонального оператора
Лемма о существовании инвариантного пространства относительно ортогонального оператора: пусть – ортогональный оператор, действующий на евклидовом