Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда

- полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

Для левой ветви гиперболы

• полярное уравнение левой ветви гиперболы.

42

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М₀(х₀,у₀,z₀), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z) l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x₀ = tm, y - y₀ = tn, z - z₀ = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀ y₀,z₀) параллельно вектору =(m,m,р).

Последнее уравнение равносильно

- общее уравнение прямой.

Пусть M₁{x₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Беря произвольную точку М₀(х₀,у₀,z₀) прямой получаем

31

- каноническое уравнение прямой.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Обозначим = = (х₂-x₁,y₂-у₁,z₂-z₁), =(m₁,n₁,р),

= (m₂,n₂,р₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.

32

уже отмечалось, эксцентриситет окружности равен нулю.

Фокальный параметр эллипса и гиперболы

Пусть эллипс и гипербола заданы соответственно своими каноническими уравнениями. Проведем через один из фокусов этих кривых прямую перпендикулярную оси ОХ и обозначим точки ее пересечения с кривой через Р и Р'.

Обозначим длину отрезка РР' через 2р. Тогда величина р(р>0) называется фокальным параметром эллипса (гиперболы) и равна: .

Если обозначить через d – расстояние между фокусом и деректрисой, то .

Так как для параболы ε = 1 и d = р, то делаем следующий Вывод: для эллипса (кроме окружности), гиперболы, парабол фокальный параметр р равен:

p = εd,

где c – эксцентриситет, d – расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.

Заметим, что для окружности фокальный параметр равен ее радиусу.

41

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.