Координаты в пространстве.

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x +y +z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: ОМ = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными ок-

14

Так как I₂=a₁₁a₂₂—а₁₂²=О, то из (*) следует, что -(a₁₁²/2) -(а₂₂²/2)=а₁₂².. Значит, a₁₁=a₂₂=a₁₂=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а₁₂ О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

Так как I₁=а'₁₁+а₂₂ О, I₂=a'₁₁а'₂₂=О, то один из коэффициентов a'₁₁ и а'₂₂ равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'₁₁=О, а'₂₂ 0 (случай а'₁₁ О, a'₂₂=0

рассматривается аналогично). Тогда I₁=a'₂₂ и уравнение (14)

можно записать так:

(25)

Осуществим теперь параллельный перенос:

, т.е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'₂₃/I₁. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

(27)

где

Теорема 1.5. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I₃ 0 это уравнение параболы, а при I₃=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

59

то из I₂<0 следует а"₁₁, и а"₂₂ имеют разные знаки. Пусть а"₁₁>0, а"₂₂<О, тогда уравнение (18) можно записать так:

, при I₃<0; (22)

, при I₃=0; (23)

, при I₃>0; (24)

Уравнение (22) задает гиперболу, симметричную относительно

оси О"Y".

Уравнение (23) можно переписать так:

– пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".

Уравнение (24) — каноническое уравнение гиперболы.

Случай, когда а₁₁"<О, а₂₂">0 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

параболического типа, т.е. I₂=О. Тогда I₁ О. Действительно,

если I₁=а₁₁+a₂₂=О, то I₁²=а₁₁²+а₂₂²+2a₁₁a₂₂=О, т.е.

(*)

58

тантами. Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х₁,у₁,z₁), В (х₂,у₂,z₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.