Эллипсоид

67

Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

То уравнение конической поверхности имеет вид:

– уравнение конической поверхности

66

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А₁. Тогда точка А₁ называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁ и В₁ точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор называется проекцией вектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) - | |, если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Пр_l , а для ортогональной проекции использовать обозначение Пр_l .

П усть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l₁ || l и обозначим точку пересечения прямой l₁ с плоскостью α через А₁. Точка А₁ называется проекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.

7

Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: ( ), ( ), ( ).

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2)

3) .

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое обозначается ), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Из первого пункта предыдущей теоремы сразу следует, что

.

Так как соs 0 = 1. то =| |². Следовательно,

,

где выражение  = ² называется скалярным квадратом вектора .

Теорема. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1)  =  (коммутативность);

2) λ ( ) = (λ ) , λ R;

8

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение. Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую).

Коническая ПВП — коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

65

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

F(x,у) =0

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,0). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

F(x,у)=0

– искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1. х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр;

2) - эллиптический цилиндр;

3) - гиперболический цилиндр;

4) у²=2рх - параболический цилиндр.

64

3) ( + ) = + (дистрибутивность).

Из определения следует, что

.

Tеорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов). Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.