Директрисы эллипса и гиперболы.

Определение. Прямые х= (а/ε), где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы) называются директрисами эллипса (гиперболы).

Теорема. Отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

Доказательство, например для эллипса, следует из того, что

M F₁=а+εх, МF₂=а—εх.

Заметим, что, так как все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса, то отношение этих расстояний равно 1. Пo этому можно говорить об эксцентриситете параболы и считать его равным 1. Как

40

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l₁ и l₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Р асстояние d от точки M₁(x₁,у₁,z₁) до данной прямой , проходящей через точку M₀(х₀,у₀,z₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так .

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁ и l₂, заданные соответственно уравнениями:

33

, (2)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁), =(m₂,n₂,p₂) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Т огда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁ и α₂, где плоскости α₁ и α₂ одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l₁ и l₂

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

34

. (3)

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

1. Координатные оси являются осми симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3)

решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А₁(—а,0), А₂(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

|х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок А₁А₂ и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА₁ и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В₁В₂ и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ₁ и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

x²—у²=а²

39

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r₁=а+εх, r₂=а—εх