Координаты на прямой.

Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началом координат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатной осью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

12

– пара параллельных прямых: и

Если же а"₃₃/I₁>0, то уравнению (31) не удовлетворяют

координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.

VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка (ПВП) называется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(1)

Теорема. Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

2) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

61

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

(28)

Так как I₁ О, то при I₃ 0 следует, что а"₁₃ О, а при I₃=0 получаем, что а"₁₃=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I₃ О, (29)

при I₃=О, (30)

Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы

оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

y"=Y;

и обозначить – а"₁₃/I₁=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У² = 2рХ.

Уравнение (30) можно записать так:

(31)

Тогда, если a"₃₃/I₁<0, то из (31) получаем

60

линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатой точки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

Координаты на плоскости.

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами и cоответственно. Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером, или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и - базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у – ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора ОМ (записывается:ОМ=(х,у)).

Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.

Теорема. Пусть = , где

.

Тогда

Следствие 1. Пусть даны точки А (х₁,y₁) и В (х₂,у₂).

13

Тогда

Следствие 2. Два вектора = (х₁,у₁) и = (х₂,у₁) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть

.

Афинная система координат (0, , ), в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .