§ 17. Параболоид
Параболоиды также бывают двух типов.
Эллиптический параболоид задается каноническим уравнением
z=ах2+by2 (а,b>0).
При пересечении плоскостью z=h, получаем ах2+bу2=h. Поэтому, если h<0, то сечения нет, если h=0, то получаем точку
53
x=у=0, если h>0, то получаем эллипс
Если h увеличивается от 0 до + , то полуоси эллипса также увеличиваются до + .
Рис. 29. Рис. 30
Если х=h, то получаем z=ah2+by2 — уравнение параболы.
Если y=h, то в сечении также получается парабола. Так как
параболоид имеет две плоскости симметрии (x=0, у=0), то
получаем поверхность, изображенную на рис. 29. В частности, если а=b, то получаем параболоид вращения — поверхность, получаемую от вращения параболы
воруг оси OZ
54
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение
z=-ax2+by2 (a,b>0)
Пересечение с плоскостью x=0 дает параболу z=by2, обращенную ветвями вверх. А пересечение с плоскостью у=h дает параболу
z=—ах2+bh2, обращенную ветвями вниз. Пересечение с плоскостью
z=h дает уравнение h=—ax2+by2. Если h>0, то
— уравнение гиперболы с действительной осью OY. Если же h<О,
то
— уравнение гиперболы с действительной осью ОХ. Таким образом
получается поверхность, имеющая форму седла (рис. 30). Отметим, что как и для случая однополостного гиперболоида, гиперболический параболоид целиком заполнен двумя семействами прямых линий. В частности, если z=0, то в сечении этой плоскостью получаем by2-ах2=О, т.е. by—ax=0 и by+ax=0 — пара прямых.
Определение 2.5. Поверхность, целиком состоящая из прямоли-
нейных образующих, называется линейчатой.
Таким образом линейчатыми поверхностями являются конус, ци-
линдр, однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.
55
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Кривые второго порядка
1. Парабола..........................................3
2. Эллипс............................................7
3. Гипербола.........................................12
4. директрисы эллипса и гиперболы....................16
5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы............18
6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы...19
7. Классификация кривых второго порядка..............20
8. Свойства определителей второго и третьего порядков25
9. Общая теория кривых второго порядка...............29
10. Инварианты кривой второго порядка................32
Глава II. Поверхности второго порядка
11. Основная теорема о поверхностях второго порядка 41
12. цилиндрические поверхности..................... 43
13. Конические поверхности......................... 45
14. Поверхности вращения........................... 48
15. Эллипсоид............,........,.... .....,.... 49
16. Гиперболоид.................... .....,.. ..... 50
17. Параболоид....,................................ 53
Учебное издание
Ходалевич Александр Дмитриевич, Селькин Вадим Михаилович
Аниськов Валерий Валерьевич
Краткий курс лекций по геометрии и алгебре (специальность
"Прикладная математика" "Аналитическая геометрия".
Ответственный за выпуск В.В.Аниськов
Подписано в печать 03.02.97. Формат 60/84 1/16. Бумага писчая № 1
Печать офсетная. Усл. П. Л. 3,26. Уч.-изд.л. 2,7 Тираж 50 экз.
Отпечатано на ротапринтере ГГУ им. Ф. Скорины г.Гомель
Ул.Советская, 104
ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕЕНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Ф.СКОРИНЫ
Кафедра алгебры и геометрии
А.Д.Ходалевич, В.М.Селькин, В.В.Аниськов
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ
(специальность - "Прикладная математика")
"Аналитическая геометрия", Ч 2.
Гомель 1997