§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы.
Определение 1.6. Прямые х= (а/ε), где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы) называются директрисами эллипса (гиперболы).
Так как для эллипса ε<1, а для гиперболы ε>1, то директрисы эллипса и гиперболы относительно этих кривых расположены соответственно следующим образом (рис.9).
Рис. 9.
16
Теорема 1.1. Отношение расстояния от любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).
Доказательство теоремы проведем для эллипса (рис.10), за-
данного уравнением (1.2). Пусть точка М(х,у) принадлежит эллипсу. Обозначим d1 — расстояние от точки М до директрисы х=(а/ε), d2 — расстояние от точки М до директрисы x=—(а/ε).
Из (1.5) следует, что
MF1=а+εх, МF2=а—εs.
Так как
,
то
Для гиперболы доказатель-
ство проводится аналогично. Те-
орема доказана.
Заметим, что так как все точ-
ки параболы равноудалены от ди-
ректрисы и фокуса, то отноше-
ние этих расстояний равно1. Пo-
этому можно говорить об экс-
центриситете параболы и считать
его равным 1. Как уже отмеча-
лось, эксцентриситет окружности
равен нулю.
Рис.10.
17
§ 5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы
Пусть эллипс и гипербола заданы соответственно своими кано-
ническими уравнениями вида (1.2) и (1.11). Проведем через один из фокусов этих кривых прямую перпендикулярную оси ОХ и обозначим точки ее пересечения с кривой через Р и Р'(рис.11).
Обозначим длину отрезка РР' через 2р. Тогда величина р(р>0)
называется фокальным параметром эллипса (гиперболы). Вычислим фокальный параметр этих кривых.
Из канонического уравнения эллипса следует, что у =
и
так как х=
с,
то
значение ординаты точки P(P').
Рис. 11.
Аналогичным
образом для гиперболы получаем
и
так как х=
с,
то
— значение орди
наты точки P(P').
Итак, фокальный параметр р эллипса (гиперболы) равен
(1.14)
Вычислим теперь расстояние d между фокусом и директрисой
18
эллипса
Расстояние d между фокусом и директрисой гиперболы равно
Так как для параболы с = 1 и d = р, то делаем следующий
Вывод: для эллипса (кроме окружности), гиперболы, параболы
фокальный параметр р равен:
p=εd, (1.15)
где c — эксцентриситет, d — расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.
Заметим, что для окружности фокальный параметр равен ее
радиусу.