§ 6.Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Как уже отмечалось ранее, уравнение окружности с радиусом а

и с центром в полюсе полярной системы координат имеет вид r=а

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу (рис.12). Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r — полярный радиус точки М, φ — ее полярный

19

угол. Тогда MF/МК = ε, где МК = MN + NK Так как MN = rсоsφ

NК = р/ε, то r/((р/ε)+rсозφ)=ε. Следовательно,

(1.16)

• полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

• 

Рис. 12. Рис. 13.

Для левой ветви гиперболы (рис.13) имеем MN = МК — KN, где

МК = rcos(180º-φ)=—rcosφ, NK = р/ε.

Так как MF/MN = r/MN = ε, то r/(—rcosφ-(p/ε)} = ε

Следовательно,

(1.17)

• полярное уравнение левой ветви гиперболы.

§ 7. Классификация кривых второго порядка (квп)

Уравнение вида

ax²+bху+су²+dx+еу+f=0 (1.18)

20

где а²+b²+с² 0, называется равнением кривой второго порядка

в прямоугольной системе координат ОXУ. Преобразуем систему

координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (1.18) приняло

наиболее простой вид.

1. Если в уравнении (1.18) коэффициент b 0, то можно

повернуть систему координат ОXУ на угол α такой, что в новой

системе координат О'Х'У' уравнение (1.18) не будет содержать член с произведением x'у'.

Действительно, согласно формулам поворота x=x'соsα — у'sinα,

у = х'sinα + у'созα. Подставляя значения x и у в (1.18) легко

подсчитать, что коэффициент при x'у' примет вид

Упрощая, получаем

—азin2α + bсоз2α + сsin2α = О,

(а—с)sin2α = 6соз2α, т.е.

(1.19)

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП

имеет вид

ax² + су² + dx + еу + f = 0. (1.20)

2. Если в уравнении (1.20) а 0 и d О, либо с 0 и е 0

то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ,

получаем уравнение КВП, не содержащее член с x, соответственно с у.

Действительно, пусть а 0, d 0. Выделим полный квадрат при переменной x в (1.20).

, т.е.

21

.

Применим формулы параллельного переноса

, у=у', т.е. , у=у'.

Тогда уравнение (1.20) примет вид

ах'²+су'²+еу'²+f'=О, (1.21)

где f'=f-(d²/4а) Если же с 0 и е О, то аналогичным исключаем в получаемом уравнении член с у.

Итак можно считать, что КВП представляется одним из трех

видов уравнений:

ах²+bу²+с=О, (1.22)

ax²+by+с=О, (1.23)

ay²+bx+c=0. (1.24)

Пусть КВП задается уравнением вида (1.22). Рассмотрим следу-

ющие случаи.

1) с О. Тогда

(1.25)

Если —(а/с)>0 и -(b/с)>О, то это уравнение эллипса.

Если -(а/с)<О и —(b/с)<0, то получаем пустое множество точек на плоскости.

Если —(а/с)>О и —(b/с)<0, то уравнение (1.25) запишется так:

-уравнение гиперболы.

22

Если —(а/с)<О и -(b/c)>О, то аналогичным образом получаем

гиперболу, вытянутую вдоль оси OY.

2) с =О. Тогда

ах²+bу²=О (1.26)

Если а и Ь — разных знаков, то всегда можно считать, что a>0, b<0. Следовательно, а=α², b=-(β²) и уравнение (1.26) примет вид

x²α²—β²y²=О, т.е. (αx—βу)(αх+βy)=О.

Последнее уравнение задает две пересекающиеся прямые αх—βy=0 и αх+βу =О.

Если же а и b — одного знака, то уравнению (1.26) удовлетворяет единственная точка 0(0, О).

Пусть КВП задается уравнением вида (1.23). Рассмотрим следу

ющие три случая.

1) b О. Тогда ax²+b(у+с/b)=О. Осуществим параллельный

перенос х=х', у=у'—(с/b). В результате получим уравнение

ах'²+bу'=О, т.е. — уравнение параболы.

2)b=О. Тогда ах²+с=О и х²+с/а=О.

Если (с/а)<О, то (c/а)=—α² и х²—α²=О. Следовательно,

(х—α)(х+α)=0 и уравнение задает две параллельные прямые х =

α и х=—α.

Если же (с/а)>О, то (с/а)=α² и х²+α²=О. В атом случае

уравнению не удовлетворяет ни одна из точек плоскости.

3) b=с=О, т.е. ax²=0 — уравнение оси OY.

Очевидно, что уравнение (1.24) совершенно аналогично уравне

нию (1.23). Поэтому, при рассмотрении этого уравнения, новых типов кривых не возникает.

23

Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, ги-

перболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой парал

лельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.

Пример: Определить вид кривой, заданной следующим уравне-

нием и построить ее

х²+2хy+у²+Зх+у=0. (*)

Решение: Осуществляем поворот системы координат на угол α,

где, согласно (1.19), ctg2α=(1—1)/2=0. Тогда можно считать, что 2α=π/2; т.е. α=π/4. Уравнение (*) при этом примет вид

или

(**)

Осуществим параллельный перенос системы координат О'Х'У' по

Формулам х'+ /2 = Х, y'+ /2 = Y. Тогда х'=Х- , у' =

Y — .

Уравнение (**) принимает вид 2Х²— Y=О, т.е. Х²=( )Y

• уравнение параболы. Строим ее (рис.14)

Рис. 14.

24

Недостатком указанного способа классификации KBП является

то, что для выяснения типа кривой приходится вначале упрощать

уравнение кривой путем преобразования системы координат. Следующий подход позволяет по свойствам коэффициентов уравнения кривой установить ее тип.

Предварительно докажем некоторые свойства определителей, ко

торые понадобятся нам в дальнейшем.