§ 3. Гипербола

Определение 1.4. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем рас-

стояние между фокусами.

Выберем декартову прямоу-

Гольную систему координат ОХY

так, как показано на рис. 6. То-

гда F₁F₂=2с, F₁(—с,0), F₂(c,0).

Для произвольной точки М(х,у),

принадлежащей гиперболе, име-

ем МF₁—MF₂= 2а, а<с.

Рис.6.

,

12

Тогда

,

,

,

.

Следовательно,

,

или

Обозначим с²-а²=b², тогда

т.е.

. (1.11)

Итак, любая точка гиперболы удовлетворяет уравнению (1.11).

Аналогичным образом, как и для случая эллипса, можно показать, что любая точка М₁(х₁,y₁), удовлетворяющая уравнению (1.11), является точкой гиперболы. Следовательно, уравнение (1.11)— уравнение гиперболы, которое называется каноническим.

По свойствам уравнения (1.11) исследуем свойства гиперболы.

13

1. Как и для эллипса, легко показать, что координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (1.11)

решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А₁(—а,0), А₂(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

(1.12)

то х²—а² 0, т.е. |х| а. Поэтому гипербола расположена вне

полосы, ограниченной прямыми x = а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5. Из курса математического анализа известно, что если функция у = f(x) имеет наклонные асимптоты вида у=kx+b, то

, .

Рассмотрим функцию вида и найдем ее наклонные

асимптоты.

,

Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, это означает, что

— асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок

А₁А₂ и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а

14

отрезок ОА₁ и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В₁В₂ и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ₁ и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

Пусть дана равносторонняя гипербола

x²—у²=а² (1.13)

Повернем систему координат ОХК вокруг начала координат на

угол φ= -45˚ (рис.8) и применим формулы поворота. Тогдa

Рис. 7. Рис. 8.

, .

Подставляя эти значения в (1.13), получим

,т.е.

Обозначим (а²/2)=k, тогда последнее уравнение примет вид

15

Определение 1.5 . Эксцентриситетом гиперболы называется

величина

.

Так как для гиперболы с>а, то ε>1. Из равенств

следует, что чем меньше величина b/а, т.е. чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

Аналогичным образом, как и для эллипса, решается вопрос о

количестве точек пересечения гиперболы с какой-либо прямой.