§ 2. Эллипс

Определение 1.2. Эллипсом называется множество точек плоско

сти, сумма расстояний от каждой ю которых до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а(а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнения эл-

липса выберем прямоугольную де-

картову систему координат так,

чтобы ось ОХ проходила через фо-

кусы F₁ и F₂, а начало координат

— точка О находилась в середине

отрезка F₁F₂ (рис.3).

Обозначим F₁F₂ = 2с. Тогда

F₁(—с,0), F₂(c,0). Пусть М(х,у)—

произвольная точка эллипса. То-

гда MF₁+ MF₂= 2а, а>с. Следо-

вательно, .

Рис.3

и

. (*)

Возведем обе части уравнения (*) в квадрат. Получим

.

Тосле приведения подобных получаем

Тогда

7

значит,

(**)

Так как а>с, то >0. Поэтому уравнение (**) примет вид

,

т.е

(1.2)

Покажем теперь, что любая точка плоскости, координаты которой

удовлетворяют уравнению (1.2), принадлежит эллипсу.

Пусть координаты точки М₁(х₁,у₁)удовлетворяют уравнению (1.2).

Обозначим r₁ = F₁M₁, r₂ = F₂M₂ — фокальные радиусы точки М₂.

Тогда

, . (1.3)

Так как

,

то

. (1.4)

Подставляя значение в (1.3), получим

.

Так как , то

,

8

Из (1.4) следует, что |x₁| а, а так как 0<(с/а)<1,

то (с/a)|x₁|< а. Поэтому а—(с/a)x₁>О и а+(с/а)х₁>О. Следовательно,

, (1.5)

Итак, r₁+r₂=2а, т.е. точка М₁ принадлежит эллипсу. Следовательно, уравнение (1.2) является уравнением эллипса, которое называется каноническим.

Отметим часто используемые формулы (1.5), выражающие расстояние от произвольной точки M₁(х₁,y₁), принадлежащей эллипсу, до фокусов эллипса.

Теперь по свойствам уравнения (1.2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Пусть точка M₁(х₁,y₁) принадлежит эллипсу, т.е.

,

тогда точки М₂(—х₁,у₁), М₃(х₁,—у₁), М₄(—х₁,—y₁) также принадлежат эллипсу. Поэтому оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А₁(-а,О), А₂(а,0), В₁(О,b), В₂(О,—b), называемых вершинами эллипса.

3. Так как

, , (1.6)

то , . Следовательно, |у| b, |х| а и эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.

9

4. Из уравнений (1.6) следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс (рис.4). Отрезок А₁А₂ и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B₁B₂ и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА₁ с длиной а и отрезок ОВ₁ с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат— центр эллипса.

Если а=b, то получаем каноническое уравнение окружности

(1.7)

Рис. 4. Рис. 5.

Произведем равномерное сжатие плоскости к оси ОХ, т.е. осуще-

ствим отображение произвольной точки М(х,у) окружности в точку М'(х',у') (рис.5) так, что

x'=x, (1.8)

Тогда х=x', у=(а/b)y' и, значит, х'²+(а²/b²)у'²=а², т.е

(x'²/a²)+(y'²/b²)=1

10

Итак, при равномерном сжатии плоскости к оси ОХ получаем

эллипс. Так как параметрическое уравнение окружности (1.7) имеет вид x=acost, у=asint, то из (1.8) следует, что

x'=x=acost,

Значит,

т.е.

х = acost, у = bsint (1.9)

— параметрическое уравнение эллипса (1.2).

Определение 1.3. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Таким образом, чем больше эксцентриситет, тем меньше отношение (b/а), т.е. тем более вытянутым становится эллипс. И наоборот, чем меньше ε, тем более эллипс принимает форму окружности.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета и формулы (1.5), можно выра

зить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r₁=а+εх, r₂=а—εх (1.10)

Решим вопрос о количестве точек пересечения эллипса (1.2) с

какой-либо прямой, заданной уравнением у=kx+с (т.е. прямая не

11

параллельна оси OY). Тогда

или

Теперь, в зависимости от количества корней квадратного уравнения возможны следующие случаи:

1) прямая пересекает эллипс в двух точках;

2) прямая имеет с эллипсом одну общую точку и является касательной к эллипсу;

3) прямая не имеет с эллипсом общих точек.

Для прямой, параллельной оси OY получаем те же случаи.