Глава II поверхности второго порядка

§ 11. Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение 2.1. Поверхностью второго порядка (ПВП) называ-

ется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(2.1)

Аналогично, как и для случая кривых второго порядка, можно

показать, что величины

; ;

, ,

являются инвариантами уравнения (2.1).

Тогда в зависимости от значений инвариантов, имеет место

следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любой поверхности второго порядка сущест-

вует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(2.1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

41

2) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

4) двуполостный гиперболоид

5) конус:

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by² (а,Ь>О);

8) гиперболический параболоид: z=—ax²+by² {а,b>0);

9) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

42

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а 0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=О (а О);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=О.

Уравнения 1)-17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка .

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.

§ 12. Цилиндрические поверхности

Определение 2.2. Цилиндрической поверхностью называется

Рис. 15. Рис. 16.

43

множество параллельных прямых (образующих), проходящих через

все точки некоторой линии, называемой направляющей (рис. 15).

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в пря

моугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверх

ности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением

F(x,у) =0 (2.2)

(рис. 16).Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндри-

ческой поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,О). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=О.

Итак, уравнению (2.2) удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение F(x,у)=0

• искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая

является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=О, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1. х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр (рис. 17);

2)

- эллиптический цилиндр (рис. 18);

3)

-гиперболический цилиндр (рис. 19);

4) у²=2рх — параболический цилиндр (рис. 20).

44

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых

ц илиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Рис. 17. Рис. 18.

Рис. 19. Рис. 20.