Линейные операции над векторами.

Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.

Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор .

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство + = .

Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору

что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать – .

Определение. Произведением вектора на число λ (λ 0) называется вектор =λ , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;

2) | |=|λ|| |.

По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = .

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) сложение векторов коммутативно:

+ = + ,  , ;

2) сложение векторов ассоциативно:

( + )+ = +( + ),  , , ;

3) + = ,  ;

4) +(- )=0,  ;

5) умножение вектора на число ассоциативно:

α (β ) = (α β) ,   α, β  R;

6) 1 = ,  ;

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к

сложению чисел:

(α+β) =α +β ,  ,  α, β  R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α( + )=α +α ,  , ,  α  R;

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ( ).

Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало λ, удовлетворяющее условию:

= λ .

Проекции.

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А₁. Тогда точка А₁ называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁ и В₁ точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор называется проекцией вектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) - | |, если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Пр_l , а для ортогональной проекции использовать обозначение пр_l .

Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l₁ || l и обозначим точку пересечения прямой l₁ с плоскостью α через А₁. Точка А₁ называется проекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.

Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: ( ), ( ), ( ).

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2)

3) .