Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое обозначается ), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Из первого пункта предыдущей теоремы сразу следует, что

.

Так как соs 0 = 1. то =| |². Следовательно,

,

где выражение  = ² называется скалярным квадратом вектора .

Теорема. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1)  =  (коммутативность);

2) λ ( ) = (λ ) , λ R;

3) ( + ) = + (дистрибутивность).

Из определения следует, что

.

Tеорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов). Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Векторное произведение двух векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если при приведении их к общему началу поворот от вектора к вектору по кратчайшему пути виден с конца вектора против часовой стрелки. Если же такой поворот осуществляется по часовой стрелке, то вектора , , образуют левую тройку векторов.

1) 2)

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый  и удовлетворяющий следующим условиям:

1) | |=| || |sin ( ^, );

2)  ,  ;

3) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения.

1) (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда  = .

2) (геометрический смысл векторного произведения) число |  | равно площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах а и b, приведенных к общему началу.

3)  = –  , (антикоммутативность).

4) (λ )  =λ (  ),

5)  (λ )=λ (  ).

6) ( + ) =  +  (дистрибутивность).

7)  ( - )=  +  (дистрибутивность).

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов , , называется число, равное (  ) и обозначается .

Свойства смешанного произведения.

1) число | | равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах , , , приведенных к общему началу. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения.

2) (необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

3) (  ) = (  )

4) = = .

Линейная зависимость векторов.

Пусть дана система векторов

(1)

и α₁, α₂,...α_n - действительные числа. Тогда векторы вида

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).

Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (2)

и хотя бы одно из чисел .

Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа α_i=0.

Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.

= ,

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и ( , , ).

Итак:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.