Прямоугольные координаты на плоскости.
Пусть
дана старая и новая прямоугольные
системы координат, соответственно
(0,
,
)
и (О',
',
').
Обозначим через φ угол между векторами
и
'.
Тогда
x = x'cosφ - y'sinφ + α,
y = x'sinφ + y'cosφ + β
В частности, если = ' и = ', то формулы принимают вид
x = х' + α, у = у' + β
- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат
Если же точки 0 и 0' совпадают, то
x = x'cosφ - y'sinφ,
y = x'sinφ + y'cosφ.
- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ
Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
Пусть
в плоскости α задана афинная система
координат (0,
,
)
и прямая l,
принадлежащая этой плоскости α. Составим
уравнение прямой l.
Заметим, что положение прямой l
однозначно определено, если известен
вектор, коллинеарный этой прямой и
называемый направляющим
вектором прямой,
и точка, через которую прямая проходит.
Очевидно, что в качестве направляющего
вектора прямой можно взять любой вектор,
коллинеарный данной прямой. Пусть
= (m1,n1)
и
=(m2,n2)
- какие-либо направляющие векторы прямой
l.
Тогда из необходимого и достаточного
условия коллинеарности двух векторов
следует, что
Если прямая l
не параллельна оси OY, то
следовательно,
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.
В
частности, для прямоугольной системы
координат (0,
)
k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению
x = a , Р(а,0)
-
уравнение
прямой, проходящей через точку параллельно
оси
ОУ.
Заметим, что в качестве направляющего
вектора такой прямой можно взять вектор
(0,р),
где р - произвольное отличное от нуля
число. В этом случае, как видим угловой
коэффициент прямой не существует.
Пусть
прямая l
проходит через точку A
(а,b)
и имеет угловой коэффициент k.
Возьмем произвольную точку М (х,у)
на прямой l.
Тогда
=(х-а,
у-b)
- направляющий вектор прямой l.
Следовательно,
Отсюда
y – b = k (x-а)
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где А, В, С R и А2 + В2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С,
и
.
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
-уравнение в отрезках.
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда
Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.
Последнее
равенство означает, что вектор
=(А,В)
ортогонален вектору
=(x1-x2,у1-у2).
т.е.
Вектор
(А,В)
называется нормальным
вектором прямой l.
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда
=А(-В)+ВА=0. т.е. .
Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.