Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направлящий вектор = (m,n) и точка M₀ (x₀,y₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х,у), =(х₀,у₀), то

x = x₀ + mt,

y = y₀ + nt

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х₁,у₁) и

M₂(x₂,у₂), то вектор =(х₂-х₁,y₂-у₁) является направляющим вектором прямой l. Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями

l₁: А₁х + В₁у + С₁ = 0, (1)

l₂: А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Теорема. Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁ λС₂.

Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l₁ и l₂ , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Уравнение:

A₁x + B₁y + С + λ (A₂х + В₂y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l_2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l₁ и l₂. своими общими уравненими; = (А₁,B₁), = (А₂,В₂) – нормальные векторы этих прямых; k₁ = tgα₁, k₂ = tgα₂ – угловые коэффициенты; = (m₁,n₁), (m₂,n₂) – направляющие векторы. Тогда, прямые l₁ и l₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k₁=k₂, либо .

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Если прямые l₁ и l₂ заданы соответственно уравнениями

l₁: у=k₁x + b₁,

l₂: у=k₂x + b₂,

то tgα₂ = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то  , то есть

m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l₁ и l₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0  φ 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ в k₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то