Угол между двумя плоскостями
Пусть
даны плоскости α1
и α2
своими общими уравнениями. Тогда под
углом φ между плоскостями α1
и α2
понимают наименьший угол, на который
надо повернуть одну из плоскостей до
ее совпадения с другой плоскостью.
Поэтому
.
Очевидно, что либо φ=(
^,
),
либо φ= (-
^,
),
где
и
- нормальные векторы плоскостей α1
и α2
соответственно. В любом случае
В частности, если φ = π/2, то
А1A2 + В1B2 + С1C2 = 0
- условие перпендикулярности двух плоскостей.
IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений
(1)
- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.
Пусть
l
– прямая. Тогда ее положение в пространстве
однозначно определяется заданием ее
направляющего вектора
=(m,n,р)
и точкой М0(х0,у0,z0),
через которую прямая проходит. Возьмем
произвольную точку М(х,у,z)
l.
Тогда
и, значит,
Переходя к координатам, получим
x - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp
- параметрические уравнение прямой.
Выражая параметр t, получим
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0 y0,z0) параллельно вектору =(m,m,р).
Последнее уравнение равносильно
- общее уравнение прямой.
Пусть M1{x1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2) – точки прямой. Тогда
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.
Беря произвольную точку М0(х0,у0,z0) прямой получаем
- каноническое уравнение прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями
Обозначим = = (х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),
= (m2,n2,р2).
1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.
2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.
3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны
4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.
Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .
Следовательно,
- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,
