Практическое занятие № 12 Тема: «Преобразование кривых второго порядка»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Привести уравнение кривой к каноническому виду и найти угол, на который следует повернуть оси координат.

Решение:

Собственные числа вычисляются с помощью характеристического уравнения матрицы квадратичной формы:

Составляем характеристическое уравнение:

Решаем:

- собственные числа квадратичной формы.

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов:

Уравнения линейнозависимы, поэтому придадим у произвольное значение у=1 и найдем х=2.

Уравнения линейнозависимы, поэтому придадим х произвольное значение х=1 и найдем у=-2.

Т.об, собственные вектора квадратичной формы:

Уравнение кривой в каноническом виде будет:

Делим обе части уравнения на 18:

Получилось каноническое уравнение эллипса с параметрами

Чтобы диагональные элементы матрицы поворота были положительными, изменим направление второго вектора:

Чтобы найти матрицу поворота, пронормируем собственные векторы и получим единичные векторы:

Тогда столбцы матрицы поворота будут представлять собой нормированные вектора:

Следовательно:

Или

Пример 2.

Привести уравнение кривой к каноническому виду, найти угол поворота осей координат и их параллельное смещение.

Решение.

Запишем матрицу квадратичной формы:

Составляем характеристическое уравнение:

Решаем:

- собственные числа квадратичной формы.

Составим систему уравнений для нахождения собственных векторов:

Уравнения линейнозависимы, поэтому придадим х произвольное значение х=4 и найдем у=3.

Уравнения линейнозависимы, поэтому придадим х произвольное значение х=-3 и найдем у=4.

Пронормируем собственные векторы и получим единичные векторы:

Тогда нормированные вектора будут представлять собой столбцы матрицы поворота к главным направлениям квадратичной формы :

Следовательно:

Или

Квадратичная форма в повернутых координатах:

Линейная форма в повернутых координатах:

Уравнение кривой в повернутых координатах:

Выделение полного квадрата переменной

Преобразование линейной части для переменной

Параллельный перенос осей координат:

Каноническое уравнение в новых координатах:

Координаты начала координат параллельно перенесенной системы в повернутых координатах:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса.

2. Даны две точки эллипса А(1,3) и В(4,1). Найти каноническое уравнение эллипса.

3. Привести уравнение гиперболы к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

4. Найти уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом .

5. Привести уравнение параболы к каноническому виду. Определить координаты ее вершины и фокуса.

6. Привести уравнение гиперболы к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

7. Составить уравнение эллипса, длина большой полуоси которого равна 20, а фокусами служат точки .

8. Привести уравнение параболы к каноническому виду. Найти вершину, фокус и директрису параболы.

9. Привести уравнение гиперболы к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

10. Привести уравнение параболы к каноническому виду. Определить координаты ее вершины и фокуса.

11. Точка (-3,2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить каноническое уравнение эллипса, если его оси симметрии параллельны координатным осям.

12. Привести уравнение параболы к каноническому виду. Определить координаты ее вершины и фокуса.

13. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках , а расстояние между вершинами равно 12.

14. Фокусом параболы служит точка ,. Составить уравнение параболы, если ось симметрии совпадает с направлением оси х.

15. Привести уравнение гиперболы к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

16. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Найти оси, вершины и эксцентриситет эллипса.

17. Привести уравнение параболы к каноническому виду. Определить координаты ее вершины и фокуса.

18. Малая ось эллипса – отрезок . Составить уравнение эллипса и найти координаты фокусов.

19. Даны две точки эллипса А(4,-3) и В(22,3). Найти каноническое уравнение эллипса.

20. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса.