Практическое занятие № 10 Тема: «Способы задания прямой в пространстве»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точки .

Решение.

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

где - направляющий вектор прямой,- координаты точки, принадлежащей прямой.

В качестве точки можно выбрать любую из данных точек, например, точку.

В качестве направляющего вектора выбираем вектор .

Тогда канонические уравнения прямой принимают вид:

Пример 2.

Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

Решение.

Общие уравнения прямой в пространстве задают прямую линию, как линию пересечения двух плоскостей:

ъ

где и- нормальные вектора к плоскостям.

Чтобы записать канонические уравнения прямой, надо знать точку, принадлежащую этой прямой и направляющий вектор прямой.

Сначала найдем точку, принадлежащую этой прямой. Для этого зададим одну из координат произвольно, а две оставшиеся найдем из общих уравнений:

Например, пусть .

Тогда

.

Таким образом, точка - принадлежит прямой.

Затем найдем направляющий вектор прямой, как векторное произведение двух нормальных векторов:

.

Нормальные вектора найдем из уравнений плоскостей, как коэффициенты при :

и .

Тогда

Следовательно, направляющий вектор будет иметь координаты:

.

Подставляем в канонические уравнения координаты точки и координаты направляющего вектора:

Пример 3.

Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно

А) вектору ;

В) прямой ;

С) оси х;

D) прямой

I) прямой

Решение.

Чтобы записать канонические уравнения прямой, надо знать точку, принадлежащую этой прямой и направляющий вектор прямой. Точка, принадлежащая прямой нам известна: поэтому в каждом случае надо найти направляющий вектор.

А). Здесь направляющий вектор уже известен

В). Здесь задана прямая, параллельная искомой прямой. Ее направляющий вектор будет направляющим и для искомой прямой, поэтому:

С). Здесь искомая прямая параллельна оси х . на оси х можно выбрать произвольный вектор, например, . Тогда

D). Искомая прямая параллельна прямой, заданной общими уравнениями. Из общих уравнений находим нормальные вектора: и. По ним находим направляющий вектор, как в задаче 2:

Следовательно, направляющий вектор будет иметь координаты: . Тогда

I). В последнем случае искомая прямая параллельна прямой, заданной параметрическими уравнениями. В общем виде параметрические уравнения имеют вид:

Из этих уравнений видно, что коэффициенты при t и являются координатами направляющего вектора. Тогда в нашем случае .

или

Пример 4.

Составить уравнения сторон треугольника с вершинами и уравнение медианы, проведенной из вершины В.

Решение.

Эта задача решается аналогично подобной задаче для прямой на плоскости. Сначала найдем уравнения сторон треугольника, как уравнения прямой, проходящей через две точки:

Имеем:

АВ:

ВС:

_АС:

Теперь найдем точку F - середину отрезка АС:

тогда

.

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки B и F:

Это и будет уравнение медианы.

Пример 5.

Найти угол между прямыми и

Решение.

Угол между прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых. Направляющие вектора данных прямых:

и .

По формуле угла между двумя векторами:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями .

2. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(-2,1,-1) параллельно вектору .

3. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2,0) параллельно прямой .

4. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точку М(1,-1,-1) и начало координат.

5. Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями .

6. Треугольник задан вершинами А(1,1,1), В(0,-1,2) и С(2,3,-1). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины А.

7. Найти угол между прямыми и.

8. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точки М₁(3,-1,4) и М₂(1,1,2).

9. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(4,3,0) параллельно прямой .

10. Найти канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями .

11. Найти угол меду прямыми и.

12. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(-4,3,0) параллельно прямой .