Практическое занятие № 6 Тема: «Векторное и смешанное произведения векторов»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Даны векторы . Вычислить.

Решение:

Сначала найдем координаты векторов, входящих в векторное произведение:

Векторное произведение векторов находится по формуле:

Находим векторное произведение для нашего случая:

Замечание.

Следует помнить, что результатом векторного произведения всегда является вектор, ортогональный двум исходным векторам!

Пример 2.

Найти синус угла между двумя векторами

Решение:

Синус угла между двумя векторами можно найти из формулы для модуля векторного произведения:

Тогда

Найдем векторное произведение:

Теперь найдем длину этого вектора по формуле

Найдем длины исходных векторов:

Подставляем в формулу синуса угла между двумя векторами:

Пример 3.

Упростить выражение:

Решение:

Используем свойства векторного произведения:

Учтем, что

Тогда

Пример 4.

Упростить выражение:

Решение:

Используем свойства векторного произведения и таблицу векторного умножения:

Пример 5.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках .

Решение:

Используем геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Тогда площадь треугольника можно найти как половину площади параллелограмма:

Найдем координаты векторов :

Находим векторное произведение:

Находим модуль векторного произведения:

Тогда площадь треугольника:

(квадратных единиц)

Пример 6.

Векторы иобразуют угол. Найти площадь треугольника, построенного на векторахи, если.

Решение:

Как и в предыдущей задаче, здесь небходимо найти модуль векторного произведения. Но в данном случае вычислить векторное произведение в декартовых координатах нельзя, поэтому используем свойства векторного произведения и формулу

Имеем:

Тогда

(квадратных единиц)

Пример 7.

Проверить, являются ли вектора компланарными.

Решение.

Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов это число, которое находится по правилу:

Находим смешанное произведение:

Так как смешанное произведение получилось равно нулю, до данные три вектора будут компланарными.

Пример 8.

Установить, лежат ли точки в одной плоскости.

Решение:

Если четыре точки лежат в одной плоскости, то вектора, соединяющие эти точки, являются компланарными. Тогда задача сводится к предыдущей.

Найдем три вектора, построенные на данных точках:

Находим смешанное произведение:

Поскольку вектора компланарны, то все 4 точки лежат в одной плоскости.

Пример 9.

Упростить выражение .

Решение:

Используем свойства векторного, скалярного и смешанного произведений:

Пример 10.

Найти объем тетраэдра с вершинами в точках: .

Решение:

Используем геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем тетраэдра будет в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Найдем три вектора, построенные на данных точках:

Находим смешанное произведение:

Находим объем:

(кубических единиц)

Замечание.

Если не учитывать модуль смешанного произведения, то объем может получиться отрицательным, что является грубейшей ошибкой!

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Доказать тождество:

2. Векторы иобразуют угол. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, если.

3. Дан треугольник с вершинами в точках . С помощью векторного произведения найди высоту, проведенную из вершины С.

4. В тетраэдре с вершинами в точках найти площадь грани АВС и длину высоты, проведенной к этой грани

5. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

6. Вычислить , если угол между векторамииравен,.

7. Найти объем пирамиды с вершинами в точках А(1,-2,-3), В(0,1,-5), С(1,2,1), D(2,-1,5).

8. Вычислить , если.

9. Найти объем пирамиды с вершинами в точках А(-1,10,-1), В(3,4,3), С(3,9,1), D(2,12,6).

10. Даны координаты вершин треугольника А(6,-2,2), В(8,-4,-5), С(10,-2,-4). Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины В.

11. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(7,-3,1), В(4,-5,0) и С(6,-1,2). Найти площадь параллелограмма.

12. Упростить выражение: .

13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , гдеи- единичные вектора, образующие угол 45⁰.