Практические занятия № 7, № 8 Тема: «Способы задания прямой на плоскости»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку и образующую с осью х угол, вдвое больший угла, который составляет с той же осью прямая.

Решение:

Найдем угол, который составляет с осью х заданная прямая. Тангенс этого угла есть угловой коэффициент прямой , который можно найти из уравнения прямой

.

Из условия задачи вытекает, что . Следовательно,

.

Отсюда . Тогда искомая прямая с осью х составляет угол

.

Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой

.

Тогда ее уравнение запишется в виде:

Чтобы найти значение , используем тот факт, что известна точка, через которую проходит искомая прямая. Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:.

Отсюда . Окончательно, уравнение прямой будет:

.

Пример 2.

Из пучка прямых, проходящих через точку Авыбрать прямую, отсекающую на положительных осях координат равные отрезки.

Решение:

В общем виде, уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами , имеет вид:

.

В нашей задаче , поэтому уравнение пучка:

или .

Выбрать из этого пучка прямую, значит задать конкретное значение углового коэффициента этой прямой. Так как по условию задачи прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то она составляет с осью х угол. Тогда. Подставляем найденный угловой коэффициент в уравнение пучка прямых и получаем искомое уравнение прямой:

.

Преобразуя это уравнение к общему виду , окончательно находим:.

Пример 3.

Треугольник задан координатами своих вершин:. Составить уравнение средней линии, параллельной стороне.

Решение:

Средняя линия делит противоположные стороны треугольника пополам. Найдем координаты точек . Так как точкаделит пополам отрезок, то ее координаты будут находится как полусумма координат концов отрезка:

.

То есть

.

Аналогично находим координаты точки . В общем виде, уравнение прямой, проходящей через две точкизаписывается так:

.

Тогда в нашем случае уравнение прямой имеет вид:

.

Окончательно, преобразуем его к уравнению общего вида: .

Пример 3.

Составить уравнение прямой, пересекающей ось х в точке , а ось у - в точке.

Решение:

Используем уравнение прямой в отрезках:

,

где - отрезки, отсекаемые прямой на осях х и у соответственно.

В нашей задаче . Тогда уравнение искомой прямой:

.

Приводя к общему уравнению прямой, имеем:

.

Пример 4.

Треугольник задан координатами своих вершин:. Составить уравнения и найти длины его медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из точки.

Решение:

1. Найдем медиану .

Так как медиана делит противоположную сторонупополам, можно найти координаты точки:

.

Таким образом,

.

Уравнение медианы найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки :

или.

Приведем это уравнение к общему виду и окончательно получим для медианы :

.

Теперь найдем длину по формуле:.

2. Найдем высоту .

Найдем уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

.

Чтобы выделить из этого пучка прямую , нужно задать ее угловой коэффициент, который можно найти из условия перпендикулярности двух прямых: угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку:

.

Высота перпендикулярна стороне. Поэтому, найдя, мы определим. Для нахождения, запишем уравнение прямой, проходящей через две точки ():

или.

Преобразуем его к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом. Для этого выразим из уравнения у:

.

Отсюда , следовательно

.

Подставляем в уравнение пучка прямых, проходящих через точкуи получаем уравнение:

.

Тогда общее уравнение прямой :

.

Находим . Ее можно вычислить, как и в предыдущем случае, зная координаты точек:

.

Координаты точки находим как координаты точки пересечения прямыхи. Для этого решаем систему уравнений этих прямых:

.

Тогда

,

и

.

Этот же самый результат можно получить, используя тот факт, что высота . Тогда длину отрезкаможно найти, как расстояние от точкидо прямой. Общая формула в этом случае имеет вид:

,

где - коэффициенты общего уравнения прямой, на которую опущен перпендикуляр,- координаты точки, от которой опускается этот перпендикуляр. В нашем случае:и

.

3. Найдем биссектрису .

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , известно:. Чтобы найти угловой коэффициент прямой, используем выражение для тангенса угла между этой прямой и прямой(или прямой

):

(при этом учитываем, что поворот от прямой к прямойпроисходит против часовой стрелки).

Чтобы выразить отсюда , нужно знатьи.определим из уравнения прямой, которое запишем, как уравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Отсюда

.

Угол равен половине угла, так как биссектрисаделитпополам. В свою очередь,

.

Находим . Запишем уравнение прямойпо двум точкам:

.

Отсюда

.

Можно заметить, что угловые коэффициент прямых иобратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, эти прямые перпендикулярны. Это можно проверить непосредственно, подставляя найденные значения угловых коэффициентов в формулу для:

.

Так как в знаменателе получается 0, следовательно тангенс этого угла не существует и угол является прямым: .

Тогда

и.

Теперь возвращаемся к нахождению . Подставляем найденные величины в выражение для:

.

Отсюда находим:

.

Наконец, подставляем это значение в уравнение пучка прямых:

,

Откуда общее уравнение прямой :

.

Теперь находим длину биссектрисы . Для этого определяем координаты точки, решая совместно уравнения прямыхи, на пересечении которых находится эта точка:

, т.е..

Тогда

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Проверить, проходит ли прямая через точки.

2. Одна из вершин квадрата находится в начале координат, а его центр - в точке . Составить уравнения сторон квадрата.

3. Составить уравнения сторон квадрата, диагонали которого лежат на осях координат, а длина стороны квадрата равна .

4. Найти прямую, проходящую через точку и отсекающую на осях координат равные отрезки.

5. Показать, что точки являются вершинами трапеции. Найти острый угол между ее диагоналями и высоту.

6. Даны уравнения сторон треугольника: . Составить уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершиныи найти их длины.

7. Даны две вершины треугольника и точка- пересечения его высот. Составить уравнения сторон треугольника.

8. В параллелограмме известны уравнения двух сторон и точка пересечения диагоналей. Найти длины высот параллелограмма.

9. В треугольнике заданы: уравнение стороны, уравнение высоты, уравнение высоты, где точка- точка пересечения высот. Найти уравнения сторони уравнение третьей высоты.