Практическое занятие № 11 Тема: «Взаимная ориентация прямой и плоскости»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Нужно найти точку пересечения прямой и плоскости, т.е. точку, координаты которой удовлетворяют и уравнению прямой и уравнению плоскости. Для этого перейдем от канонических уравнений прямой к параметрическим:

или

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

Найденное значение t подставляем в параметрические уравнения и находим :

Таким образом, координаты точки пересечения прямой и плоскости .

Пример 2.

Дана прямая L: и точкане принадлежащая этой прямой. Найти:

А) уравнение плоскости, проходящей через точку и прямуюL;

В) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямойL.

Решение.

А). Заданные прямая и точка лежат в искомой плоскости. Будем искать уравнение этой плоскости в виде:

где - нормальный вектор плоскости,- координаты точки, принадлежащей плоскости.

Координаты точки, принадлежащей плоскости, нам известны – это точка . Остается найти нормальный вектор плоскости через два направляющих вектора:

Один направляющий вектор найдем из канонического уравнения прямой:

.

Второй направляющий вектор найдем по двум точкам. Первая точка дана (), а вторую найдем из числителей канонических уравнений прямой:. Тогда.

Тогда

Следовательно, нормальный вектор будет иметь координаты:

.

Тогда подставляем координаты этого вектора и координаты точки в уравнение плоскости:

Раскрываем скобки и приводим подобные:

В). Заданная точка лежат в искомой плоскости, а прямая перпендикулярна этой плоскости.

Координаты точки, принадлежащей плоскости, нам известны – это точка . Остается найти нормальный вектор плоскости. Поскольку прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор и будет нормальным вектором плоскости:

.

Тогда уравнение плоскости получится:

Пример 3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой.

Решение.

Будем искать уравнение этой плоскости в виде: уравнения (3). Координаты точки, принадлежащей плоскости нам известны, а нормальный вектор плоскости будет направляющим вектором заданной прямой:

Чтобы найти этот вектор, используем прием из задачи (2):

и .

Тогда

Следовательно, нормальный вектор плоскости будет иметь координаты:

.

Подставляем в уравнение плоскости:

Пример 4.

Найти угол между прямой и плоскостью

Решение.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

Нормальный вектор плоскости находим из уравнения плоскости:

.

Направляющий вектор прямой находим через векторное произведение двух нормальных векторов из общих уравнений прямых:

и .

Тогда

Следовательно, направляющий вектор прямой будет иметь координаты:

.

Тогда

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

2. При каком значении mпрямаяпараллельна плоскости.

3. Найти угол между прямой и плоскостью.

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

5. При каком значении С и Dпрямаялежит в плоскости.

6. Найти угол между прямой и плоскостью.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

8. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.

9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-2,-2) перпендикулярно прямой .

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,4,0) и прямую