Практическое занятие № 5 Тема: «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов»

Примеры решения задач.

Пример 1.

Даны векторы: . Найти векторы. Определить длины векторов, скалярный квадрат вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Решение:

По правилу умножения вектора на число, результирующий вектор будет иметь координаты, равные произведению координат исходного вектора на это число:

Результирующий вектор разности двух векторов имеет координаты, равные разности координат исходных векторов:

Длина вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Скалярный квадрат вектора определяется как квадрат его длины:

Если два вектора заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Угол между двумя векторами находится из скалярного произведения, выраженного через длины векторов.

Так как

то

.

Пример 2.

Доказать, что точки являются вершинами трапеции. Найти длины ее оснований.

Решение:

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие – не параллельны. Чтобы доказать, что указанные точки являются вершинами трапеции, рассмотрим вектора, соединяющие эти точки: . Найдем координаты этих векторов, вычитая из координат точки конца вектора координаты точки начала этого вектора:

Если эти векторы являются сторонами трапеции, то два из этих векторов должны быть коллинеарны, а два другие – неколлинеарны. Из условия коллинеарности векторов следует, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Проверяем пропорциональность полученных векторов:

, следовательно эти векторы коллинеарны.

, следовательно эти векторы неколлинеарны.

Таким образом, является трапецией.

Найдем длины ее оснований как длины соответствующих векторов:

.

Пример 3.

Векторы образуют угол. Найти длину вектора, если

Решение:

Найдем скалярный квадрат вектора , используя свойства скалярного произведения:

Тогда

.

Пример 4.

Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение:

Найдем координаты векторов диагоналей четырехугольника:

Используем условие перпендикулярности векторов: скалярное произведение перпендикулярных векторов должно быть равно нулю:

Таким образом, условие перпендикулярности векторов выполняется, следовательно диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Пример 5.

Найти скалярное произведение векторов: .

Решение:

По условию задачи векторы заданы в виде комбинации единичных векторов , направленных вдоль осейx, y, z соответственно. Координатами векторов будут коэффициенты при единичных векторах:

Тогда скалярное произведение:

Пример 6.

Установить, будет ли треугольник с вершинами А(-3,4), В(-9,6), С(5,2) равнобедренным.

Решение:

Находим координаты векторов, соответствующих сторонам треугольника:

Находим длины этих векторов:

Таким образом, треугольник не будет равнобедренным.

Пример 7.

Вычислить проекцию вектора на вектор, если заданы координаты точек А(3,3,-2), В(0,2,-4), С(0,-3,4),D(0,-3,0).

Решение:

Проекция вектора на векторнаходим по формуле:

Находим координаты векторов:

Пример 8.

Найти направляющие косинусы вектора , если.

Решение:

Направляющие косинусы вектора находятся по формулам:

Находим координаты вектора :

Находим направляющие косинусы:

Можно проверить, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Установить, будет ли треугольник с вершинами А(-3,4), В(-9,6), С(5,2) равнобедренным.

2. В треугольнике АВС известны координаты точки А(2,-1,3), и векторы . Найти координаты вершин В и С.

3. Проверить, является ли треугольник, заданный своими вершинами, равносторонним:

4. Определить, лежат ли данные точки на одной прямой:

а) б)

5. Даны три последовательные вершины параллелограмма. Найти четвертую вершинуD, противоположную вершине В.

6. Определить, какие из нижеперечисленных векторов

коллинеарны с осью абсцисс, с осью ординат, с осью аппликат; параллельны плоскости .

7. Выяснить, коллинеарны ли вектора , если

8. Вычислить проекцию вектора на вектор, где.

9. Найти неизвестные координаты вектора , если он коллинеарен вектору, где А(-1,-2,4), В(1,1,2).

10. Найти направляющие косинусы вектора , если заданы координаты точек А(3,1,1), В(-3,3,-3), С(-3,-3,3),D(2,0,-4).

11. Даны векторы . Найти вектор, если он перпендикулярен осиz и удовлетворяет условиям .

12. Вычислить , если угол между этими векторами составляети.

13. Даны векторы . Найти вектор, если он перпендикулярен этим векторам и удовлетворяет условиюгде.

14. Найти угол А в треугольнике с вершинами

15. Найти скалярное произведение векторов и угол между ними.

16. Даны векторы . Найти значение, при котором векторыбудут перпендикулярны.

17. Выяснить, перпендикулярны ли вектора , если

18. Даны векторы . Найти угол между векторами, если.