Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

Пусть нам известно общее уравнение плоскостив пространствеи нам требуется получить уравнение этой плоскости в отрезках.

Эту задачу мы можем решить только тогда, когда плоскость пересекает каждую из координатных осей, причем НЕ в начале координат. Мы не сможем получить уравнение плоскости в отрезках, если плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей, параллельна одной из координатных плоскостей, проходит через одну из координатных осей или параллельна одной из координатных осей. Другими словами, к уравнению в отрезках мы можем привести лишь полное уравнение плоскости, то есть, уравнение при.

Опишем процесс приведения полного общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

• Слагаемое Dпереносим в правую часть уравнения с противоположным знаком.

• Так как , то обе части полученного уравнения можно разделить на–D:.

• Осталось выполнить последний шаг. Так как , то коэффициенты перед переменнымиx,yиzможно отправить в знаменатели, то есть, последнее уравнение эквивалентно равенству. При этом мы использовали очевидное равенство.

Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках. Это хорошо видно, если обозначить .

Покажем решение примера.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве лоскость задана уравнением. Получите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение.

Исходное уравнение является общим полным уравнением плоскости, поэтому его можно привести к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем -6в правую часть. Разделим обе части полученного равенства на шесть:. Отправляем коэффициенты при переменныхx,yиzв знаменатели:. Так мы получили требуемое уравнение плоскости в отрезках.

Ответ:

18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y= k x+ b

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ

Сначала исследуем прямую, которая задана уравнением  . Эта прямая всегда проходит через начало координат, т. е. через точкуКоэффициентназывается угловым коэффициентом. Равен он тангенсу угла наклона, образуемого прямой с положительным направлением оси(рис. 4), т. е..  Если учесть, что тангенс острого угла есть величина положительная, а тангенс тупого угла – величина отрицательная, то можно очень быстро представить расположение прямой на плоскости.

19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁ , если х ₁ = х₂ .

Дробь = k называетсяугловым коэффициентом прямой.

20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).

• Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как.Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.  

• Если две прямые заданы общими уравнениями (Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0), то угол между ними вычисляется как угол между нормальными векторами . Две прямые параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А, В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.