53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.

еорема 2. Если для всех выполняется условие

,

то функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b), а если для всех справедливо неравенство

,

то функция f(x) строго убывает на интервале (a,b).

Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется первое условие. Пусть и -произвольные точки интервала (a,b) такие, что По теореме Лагранжа

, где .

Отсюда и из первого условия Теоремы 2 следует, что . Это означает, что функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b).

Замечание 1. Условие не является необходимым для строгого возрастания функции. Пример .

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a,b) и удовлетворяет условию, то эта функция строго убывает на отрезке.

Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа.

Теорема 4. Если , то функция f(x) строго возрастает в точке, а если, то функция f(x) строго убывает в точке.

Пусть, например, . Из определения производной следует, что по заданному числуможно найтитакое, что для всехвыполняется неравенство, откуда следует утверждение,.

Аналогично доказывается случай .

Достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.

Теорема 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки , и непрерывна в точке.

Тогда:

1. если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку, т.е. существуеттакое, что

,

,

то – точка строго минимума функции f.

2. если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку, то- точка строгого максимума функции f.

Пусть функция меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку, тогда выполняется условие а) Теоремы 5.

Если x – произвольная точка интервала , то функцияf дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке. По теореме Лагранжа

,

где , так каки. Отсюда следует, что

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке , где, получаем, что

Из двух последних условий следует утверждение:

Это означает, что – точка строгого минимума функцииf(x).

Аналогично рассматривается случай строго максимума.

Замечание 3.Если– точка строгого экстремума функцииf(x), то из этого не следует, что функцияменяет знак при переходе через.

Теорема 6 (второе достаточное условие строгого экстремума)

Пусть - стационарная точка функции f(x), т.е.

,

И пусть существует .

Тогда:

а) если , то – точка строгого минимума функции f(x);

б) если , то – точка строгого максимума функции f(x).

Если , то по теореме о монотонности функции, функцияявляется возрастающей в точке, т.е. существуеттакое, что

=0,

=0,

откуда следует, что меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку. Согласно Теореме 5 точка– точка строгого минимума функции f(x). Аналогично рассматривается случай.

Замечание 4.Еслии, то в точкефункция f может иметь экстремум, а может и не иметь. Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая.

Теорема 7(третье достаточное условие строго экстремума).

Пусть существует , где n>2 и выполняются условия

Тогда:

а) если n – четное число, то – точка экстремума функции f(x), а именно точка строго максимума в случаеи точка строго минимума в случае

б) если n – нечетное число, то не является точкой экстремума функции f(x).

Используя локальную формулу Тейлора для функции f(x) в окрестности точки и условияполучаем

Из условия следует, что предыдущее неравенство можно записать в виде

(20)

Где притак какприПоэтомуоткуда следует, что

для (21)

Из равенства (20) в силу условия (21) получаем

(22)

а) Пусть n – четное число (n=2k), тогда

и из равенства (22) получаем

Если то длявыполняется неравенство

Это означает, что – точка строгого минимума функцииf(x).

Аналогично, если то

т.е. – точка строгого максимума функцииf(x).

б) Пусть n=2k+1, тогда из формулы (22) следует, что разность меняет знак при переходе через точку, так как функцияменяет знак при переходе через точку. Это означает, чтоне является точкой экстремума функции f(x).