38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.

Функции одной переменной делят на два класса по области существования.

Определение. Если областью существования функции служит множество натуральных чисел, то функциюназываютпоследовательностью и обозначают ,,и т. д.

Как правило, последовательность задают: формулой общего члена (например,) или рекуррентно (например,, т.е. через связь с предыдущими членами последовательности).

Определение. Если областью определения функции служит один или несколько интервалов числовой оси, или вся числовая ось, то функцию называютфункцией непрерывного аргумента.

К основным элементарным функциям относятся:

– степенная функция ,;

– показательная функция ,;

– логарифмическая функция ,;

– тригонометрические функции .,,;

– обратнотригонометрические функции ,,,.

 

 

Графики и наиболее важные свойства основных элементарных функций приведены в таблице.

Таблица 3.

Функция	График	Свойства
			-четное Четная. Возрастает при. Убывает при.	-нечетное Нечетная. Возрастает при
			-четное Ни четная ни нечетная. Возрастает при	-нечетное Нечетная. Возрастает при
		, Ни четная ни нечетная. Возрастает при, еслиубывает, если.
		, Ни четная ни нечетная. Возрастает, если. Убывает, если
		Четная. Возрастает. Убывает. Периодическая.
		Нечетная. Возрастает . Убывает.. Периодическая.
		. . Нечетная. Возрастает. Периодическая.
		Нечетная. Убывает . Периодическая.
		Нечетная. Возрастает .
		Ни четная ни нечетная. Убывает . .
		Нечетная. Возрастает
		Ни четная, ни нечетная. Убывает .

Определение. Функции, составленные из основных элементарных функций, называются элементарными, если удовлетворяют двум условиям: задаются одним аналитическим выражением в области определения; представляют результат конечного числа алгебраических операций и операций взятия функции от функции.

Примеры. Неэлементарнымифункциями могут служить следующие функции:

1.– функция в области определения задана двумя аналитическими выражениями.

2.– формула, задающая функцию, состоит из бесчисленного числа операций.

Элементарные функции разделяют на два класса: алгебраические и трансцендентные функции.

Определение. Функция называется алгебраической, если её значение можно получить, производя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, делений и возведений в степень с рациональным показателем.

Среди алгебраических функций в свою очередь выделяют:

1. Рациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, отсутствует операция извлечения корня:

– многочлены , например, .

– дробно-рациональные функции (отношение многочленов)

,

например .

2. Иррациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, есть операция извлечения корня, например: ;.

Определение. Функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

К трансцендентным функциям относятся:

– показательная;

– логарифмическая;

– тригонометрические;

– обратнотригонометрические;

– гиперболические .

Пример. – трансцендентные функции.