21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

21.1. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у² у'-3(1 у+х у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть 

Найти у'_х.

Решение: Имеем   x'_t=3t²,   y'_t=2t.   Следовательно,   у'_х=2t/t²,   т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, ТогдаОтсюдат. е.

50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.

Производная от функциитоже представляет собой некоторую функцию. Ее можно дифференцировать и в результате получается производная второго порядка (вторая производная):. Следующее дифференцирование дает третью производную, четвертую, пятуюи т. д. Вообще (N–ой) производной называется производная от (N–1)производной: .

Аналогично вводятся дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков: – это второй дифференциал (или дифференциал второго порядка). По определению он равен. Здесьрассматривается как константа, и.

Аналогично, и т. д. Найдем, например, производные и дифференциалы до 4го порядка включительно для:

, ,,.

, ,,.

Значение производных, как и значения дифференциалов, можно находить в конкретной точке. Например, найдем производные и дифференциалы до 3-го порядка включительно для рассмотренной функции в точке X = 0:

, ,,

, ,.

С помощью дифференциалов можно получить формулу для вычисления приращения функции более точную, чем (4). Эта формула называется формулой Тейлора:

(5)

Здесь использовано понятие факториала (!) для сокращенной записи произведения натуральных чисел: .

Обычно формулу Тейлора записывают иначе. Если считать, что ,, то. Тогда получается привычная запись формулы Тейлора:

Эта формула представляет дифференцируемую функцию в виде многочлена по степеням , а коэффициенты этого многочлена суть производные от функции при. Практическое применение этой формулы трудно переоценить.

Рассмотрим только один пример на применение формулы Тейлора. Пусть и нас интересует значениепри. Примем близкое число 1 в качестве. Тогдабудем считать равным. Таким образом,Приращение функциивычислим с помощью формулы Тейлора. Вычисляем производные и дифференциалы высших порядков, считая:

.

Все последующие производные равны нулю и, таким образом, формула Тейлора обрывается.

Наши результаты: .

Таким образом, . Естественно, значение функции с такой точностью редко используется. Обычно оставляют три – пять значащих цифр после запятой. Мы же на основании этого примера убеждаемся в следующем свойстве формулы Тейлора: начиная с некоторого номера слагаемые в формуле быстро убывают. В нашем случае второй дифференциал меньше первого в 80 раз, четвертый меньше третьего в двести раз и т. д. Это означает, что для вычисления значений функций в формуле Тейлора можно просто отбрасывать слагаемые, используя несколько первых. Это же правило имеет место, когда функцию заменяют формулой Тейлора, оставляя одно–два слагаемых. Например,мало отличается от нуля при. Мы использовали соотношение, если нужна большая точность, то, используя формулу Тейлора, получают:илии т. д.