Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Мы уже отмечали, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой в пространстве видамогут быть равны нулю. Тогда записьсчитается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как, где.

Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Пусть , или, или, тогда канонические уравнения прямых имеют видилиили

В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyzв пространстве прямые лежат в плоскостях,илисоответственно, которые параллельны координатным плоскостямOyz,OxzилиOxyсоответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при,или). На рисунке представлены примеры таких прямых.

При , или, иликанонические уравнения прямых запишутся какилиилисоответственно.

В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz,OyилиOxсоответственно (или совпадают с этими осями при,или). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты, или, или, очевидно, что они коллинеарны векторам, или, илисоответственно, где- направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.

Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.

Пример.

Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox,OyиOz.

Решение.

Направляющими векторами координатных прямых Ox,OyиOzявляются координатные векторыисоответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку. Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямыхOx,OyиOz, они имеют видисоответственно.

Ответ:

- канонические уравнения координатной прямой Ox,- канонические уравнения оси ординатOy,- канонические уравнения оси аппликат.

Пример.

Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyzв пространстве проходит через точкуи параллельна оси ординатOy.

Решение.

Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy, то ее направляющим вектором является вектор. Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид.

Ответ:

К началу страницы

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве через две несовпадающие точкии.

В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор (если больше нравиться вектор, то можно взять его). По известным координатам точекМ₁иМ₂можно вычислить координаты вектора:. Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точекМ₁иМ₂), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координатOxyzв трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями видаили. Это и есть искомыеканонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства и.

Решение.

Из условия имеем . Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки:

Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида , то получаем.

Ответ:

или

К началу страницы