Определение

Следствия:

1. Если ранг матрицы равен , то любыестрок или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

2. Если — квадратная матрица, и, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

3. Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях):Введём обозначениедля матриц, полученных друг из другаэлементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если, то их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли:Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

1. Количество главных переменных системы равно рангу системы.

2. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Неравенство Сильвестра:ЕслиAиBматрицы размеровm x nиn x k, то

Это частный случай следующего неравенства.

• Неравенство Фробениуса:Если AB, BC, ABC корректно определены, то

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть — матрица размеранад полем(или). Пусть— линейное преобразование, соответствующеев стандартном базисе; это значит, что.Ранг матрицы— это размерность области значений преобразования.

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден ненулевой минор-го порядка. Рассмотрим все миноры-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А_n) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

4. Записать обратную матрицу А^-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А^-1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А^-1.

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ: