4.2.2.3 Замена соединения сопротивлений треугольником соединением звездой.
Треугольником соединены сопротивления R4; R5; R6.
Сопротивления эквивалентного соединения в звезду имеют значения:
R46 = R4 R6/ (R4 + R5 + R6) = 0,357 Ом;
R45 = R4 R5/( R4 + R5 + R6 ) = 0,571 Ом; (4.2.7)
R56 = R5 R6/(R4 + R5 + R6) = 2,857 Ом;
4.2.2.4 Определение напряжения между точками а и в схемы.
1) Для определения напряжения UАВ составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, который показан штриховой линией на рис. 11
UАВ - I4 R4 + I1 R1 + Е2 = 0 (4.2.8)
2) Из этого уравнения находится UАВ
UАВ = - Е2 - I1 R1 + I4 R4 = -16 - 3,247 2 – 1,811 = -24,305 В.
Действительное направление напряжения между узлами А и В противоположно обозначенному на схеме.
4.2.2.4 Составление баланса мощностей.
При составлении баланса следует учитывать, что мощность, потребляемая всеми элементами цепи, должна быть равна мощности, которую отдают источники электроэнергии. Однако возможно и потребление энергии источником (например, при зарядке аккумулятора). В этом случае направления ЭДС и тока источника противоположны.
1) Мощность источников электроэнергии
Рист. = Е1 I1 + Е2I2 +Е3I3 (4.2.9)
или
Рист. = 30 3,247 -16 1,139 – 10 2,108 = 58,1 Вт.
2) Определяется потребляемая сопротивлениями цепи мощность
РR
= I1
R1
+
I
2
R2
+ I
3
R3
+ I4
R4
+ I5
R5
+ I6
R6
(4.2.10)
После подстановки числовых значений получается РR = 58,1 Вт, т.е. баланс мощностей выполняется, что свидетельствует о правильности вычисления токов в ветвях.
4.3 Задача 3
4.3.1. При расчетах цепей переменного синусоидального тока используются те же законы и методы, что и при расчете цепей постоянного тока, но все электрические величины – токи, ЭДС, напряжения, сопротивления, - должны быть записаны в комплексной форме. В связи с необходимостью выполнения при расчетах различных математических действий: сложения/вычитания, умножения/деления,- рекомендуется использовать как алгебраическую, так и показательную формы записи комплексных чисел.
=
а + jb
=A
e
,
(4.3.1)
где А – модуль величины,
а и b – ее действительная и мнимая части.
А
=
(4.3.2)
= arc
tg
b/a
(4.3.3)
для перехода от показательной формы записи к алгебраической нужно использовать выражения
а = А cos (4.3.4)
b = A sin (4.3.5)
4.3.2. При составлении расчетной схемы необходимо:
а) заменить полные сопротивления составляющими их элементами: активными сопротивлениями, индуктивностями и емкостями;
б) источники тока источниками ЭДС.
Ветви с источниками тока, равными нулю, на схему не наносятся.
4.3.3. Для определения
линейной частоты f
следует использовать связывающее ее с
угловой частотой
соотношение
= 2пf (4.3.6)
4.3.4. Расчет токов в ветвях следует вести в изложенной ниже последовательности
а) Вычислить сопротивления реактивных элементов
ХL = L (Ом) (4.3.7)
ХC = 1/ C (Ом) (4.3.8)
б) Записать в комплексной форме заданные величины, используя приведенные в п. 4.3.1 формулы.
Например:
- ЭДС дана в виде
Е = 100 В;
=
650;
тогда показательная форма этой ЭДС
имеет вид
= 100 е j65
,
а перевод ее в алгебраическую форму выполняется по (4) и (5);
- сопротивление ветви состоит из резистора R, индуктивного ХL и емкостного ХС сопротивлений
R = 3 Ом; ХL = 9 Ом; ХС = 5 Ом. Тогда удобней первоначальную запись комплексного сопротивления выполнить в алгебраической форме
Z = R + j (ХL – ХС) = 3 + j (9 – 5) = 3 + j 4
c последующим ее переводом в показательную форму по (4.3.1) – (4.3.3).
Результаты расчетов занести в таблицу 6.
Таблица 6 - Результаты расчета заданных величин и параметров схемы
в алгебраической и показательной форме.
Величина, параметр |
Алгебраическая форма |
Показательная форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Составить контурные уравнения для своей расчетной схемы замещения, используя выражение ЭДС и сопротивлений комплексными числами. Для упрощения операций умножения и деления при составлении уравнений предпочтительней использовать показательную форму комплексов.
г) Решить полученную систему уравнений и, найдя контурные токи, определить токи в ветвях, напряжения на каждом комплексном сопротивлении и их элементах. Результаты расчетов занести в таблицу 7. Количество строк в таблице зависит от числа найденных величин.
Таблица 7 - Результаты расчета токов и напряжений.
Искомая величина |
Алгебраическая форма |
Показательная форма |
Действующее значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильность расчетов может быть проверена по уравнениям, составленным по первому закону Кирхгофа.
4.3.5. Найти комплекс
мощности S
источника питания как произведение
комплекса ЭДС источника на сопряженный
комплекс тока
,
даваемого этим источником.
S
=
, (4.3.9)
где сопряженный комплекс тока равен
комплексу тока, у которого знак мнимой
части изменен на противоположный.
Например,
= 3 + j4, тогда сопряженный комплекс в
алгебраической форме
=
3 - j4.
При использовании показательной формы необходимо в сопряженном комплексе изменить знак показателя.
Заменой комплекса тока на его сопряженный комплекс учитывается угол сдвига фаз между ЭДС и током для источников питания (напряжением и током для приемников).
Полная мощность равна модулю комплекса мощности, или
S = Е I, (4.3.10)
а действительная и мнимая части комплекса мощности соответствуют активной и реактивной мощности, или
Р = S cos ; (4.3.11)
Q = S sin , (4.3.12)
где - угол сдвига по фазе между ЭДС и током источника питания.
Суммарную мощность всех действующих в цепи источников питания проще найти, записав комплексы мощностей каждого источника в алгебраической форме.
Результаты определения мощностей показать в таблице, форму которой составить самостоятельно.
4.3.6. Для составления баланса активных мощностей следует определить активную мощность, потребляемую активными сопротивлениями (резисторами) n-й ветви цепи
Pпотр.
=
I
n
Rn
, (4.3.13)
где In – действующее значение тока ветви, А;
Rn – активное сопротивление ветви, Ом.
Потребляемая цепью активная мощность должна быть равна активной мощности, отдаваемой всеми источниками питания (см. п. 4.3.5).
4.3.7. Уравнения мгновенных значений заданных ЭДС имеют вид
е
= Еm
sin
(
t
+
)
(4.3.14)
где - угловая частота, - начальная фаза каждой ЭДС (см. задание).
4.3.8. Построение векторной диаграммы.
Для данной на
рис.12 схемы выполнен расчет, результаты
которого отражены в общем виде в таблице
7а, где действительные части комплексов
токов
и
напряжений
обозначены I' и U' , а мнимые I" и U".
Рис. 12. Схема однофазной цепи
Таблица 7а - Результаты расчета токов и напряжений
Искомая величина
|
Алгебраическая форма |
Показательная форма |
Действующее значение |
|
Токи ветвей, А |
1 |
I'1 + jI"1 |
I1
e |
I1 |
2 |
I'2 + jI"2 |
I2
e |
I2 |
|
3 |
I'3 + jI"3 |
I3
e |
I3 |
|
4 |
I'4 + jI"4 |
I4
e |
I4 |
|
5 |
I'5 + jI"5 |
I5
e |
I5 |
|
6 |
I'6 + jI"6 |
I6
e |
I6 |
|
Продолжение таблицы 7а
Напряжения на сопротивлениях, В |
1 = R1 |
U'1 + j U"1 |
U1 e |
U1 |
2 = C2 |
U'2+ jU"2 |
U2
e |
U2 |
|
3 |
U'3 + jU"3 |
U3
e |
U3 |
|
R3 |
U'R3 + jU"R3 |
UR3
e |
UR3 |
|
C3 |
U'C3 + jU"C3 |
UC3
e |
UC3 |
|
4 = R4 |
U'4 + jU"4 |
U4
e |
U4 |
|
5 |
U'5 + jU"5 |
U5
e |
U5 |
|
R5 |
U'R5 + jU"R5 |
UR5
e |
UR5 |
|
5 |
U'L5 + jU"L5 |
UL5
e |
UL5 |
|
6 = R6 |
U'6 + jU"6 |
U6
e |
U6 |
На рис. 13 дана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи, при построении которой соблюдалась следующая последовательность:
1. Строятся оси комплексной плоскости: действительных величин (+1) – горизонтально, мнимых величин (j) – вертикально.
2. Исходя из значений модулей токов и напряжений и размеров поля листа, отведенного для построения диаграммы, выбираются масштабы тока mI и напряжения mU. Например, при использовании формата А4 (размеры 210х297 мм) при наибольших модулях тока 40 А и напряжения U = 500 В приняты масштабы: mI = 5 А/см, mU = 50 В/см.
3. С учетом принятых масштабов mI и mU определяется длина каждого вектора, если диаграмма строится с использованием показательной формы его записи; при использовании алгебраической формы находятся длины проекций векторов на оси действительных и мнимых величин, т.е. длины действительной и мнимой частей комплекса.
Например, для
записанных в комплексной форме тока, I
= 40 е
=
20 + j34,6
и напряжения U
= 500 е
=
433 + j
250 В:
- длина вектора тока /I / = 40 А/ 5 А/см = 8 см; длина его действительной части I = 20 А / 5 А/см = 4 см, длина его мнимой части I = 34,6 А / 5 А/см = 6,9 см;
- длина вектора напряжения / U / = 500 В / 50 В/см = 10 см; длина его действи-
тельной части U = 433 В / 50 В/см = 8,66 см; длина его мнимой части U =
= 250 В / 50 В/см = 5 см.
Результаты определения длин векторов, их действительных и мнимых частей нужно отразить в таблице 7б.
Таблица 7б - Длины векторов тока и напряжения, их действительных и
мнимых частей
Величина |
Масштаб, 1/см
|
Длина вектора, см |
Длина действительной части, см |
Длина мнимой части, см |
|
Токи ветвей |
1 |
mI= 5 А/см |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||
4 |
|
|
|
||
5 |
|
|
|
||
6 |
|
|
|
||
ЭДС и напряжения
|
1 |
mU=50 В/см
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
6 |
|
|
|
||
1= R1 |
|
|
|
||
R1 |
|
|
|
||
2 = C2 |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||
R3 |
|
|
|
||
Продолжение таблицы 7б
ЭДС и напряжения |
C3 |
mU=50 В/см
|
|
|
|
4 = R4 |
|
|
|
||
5 |
|
|
|
||
R5 |
|
|
|
||
L5 |
|
|
|
||
6 = R6 |
|
|
|
4. На комплексной плоскости строятся вектора всех ЭДС, напряжений и токов. Для их построения можно использовать обе формы записи комплексов ЭДС, напряжений и токов.
Например,
вектор тока
,
комплекс которого использован в п. 3 в
качестве примера, строится по показательной
форме следующим образом: от оси (+1) под
углом 30
,
т.е. против часовой стрелки, откладывается
отрезок длиной 8 см; по алгебраической
форме его можно построить, отложив по
оси (+1) отрезок длиной 4 см, а по оси (j)
отрезок длиной 6,96 см, концы этих отрезков
являются координатами конца вектора
.
На векторной диаграмме (рис. 13) использованы оба способа построения векторов: векторы токов построены по показательной форме записи, а векторы ЭДС и напряжений по алгебраической.
5. Правильность расчета цепи и построения векторной диаграммы проверяется по взаимному расположению векторов, а также их сложением. Так, например,
для используемой в качестве примера схемы (рис. 12):
- векторы токов 1, 4 и 6 и напряжений 1, 4 и 6 совпадают по фазе;
- вектор напряжения R5 должен совпасть по фазе с вектором I5, а вектор L5 опережает вектор тока 5 на 90 ;
- сумма токов узла В 1 и 5 соответствии с первым законом Кирхгофа должна быть равна току 6;
- по второму закону Кирхгофа для контура 111 при сложении векторов напряжений 3, 6 и 5 должен получиться вектор 6.
Таким образом может быть выполнена проверка для всех ветвей, узлов и контуров.
Рис. 13. Векторная диаграмма токов и напряжений для схемы на рис. 12.