Задача 1
По данному графику оригинала (рис. 1) найти изображение. f (t)
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
a |
2a |
||||
|
|
|
Рис. 1. |
|
|
|
|
|
|
Справочный материал |
|
||||
Свойство линейности |
|
|
|
|
|
||
Если |
• |
|
|
|
• |
|
|
f1(t)← F1(p) и |
f2 (t)← F2 (p), то |
||||||
|
• |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
• |
F1(p)+ c2 |
F2 (p). |
||
|
c1 f1(t)+ c2 f2 (t)← c1 |
||||||
|
|
|
• |
|
|
|
|
Теорема запаздывания |
|
|
|
|
|
||
Если |
• |
|
> 0 , то |
|
|
|
|
f (t)← F(p), τ |
|
|
|
||||
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
f (t −τ) σ(t −τ)← F(p) e−τ p , |
||||||
|
|
|
• |
|
|
|
|
где σ(t −τ)= 1, |
t ≥τ - обобщенная единичная функция. |
||||||
|
0, |
t <τ |
|
|
|
|
|
Решение задачи
a)f (t)= 0 при t < 0 .
b)f (t)=1 при t (0, a).
c)При t (a, 2a) составим уравнение прямой, проходящей через точки (a;1) и (2a; 0)
4
t −2a |
= |
f (t)−0 |
, или |
f (t)= |
2a −t |
. |
a −2a |
1 −0 |
|
||||
|
|
|
a |
|||
d)f (t)= 0 при t > 2a .
Таким образом,
f (t)=
0, t < 0
1, 0 < t < a
2a −t , a < t < 2a . a
0, t > 2a
|
Теперь |
запишем |
функцию |
f (t) |
одним аналитическим |
|||||||||||
выражением, используя функции Хевисайда σ(t) и σ(t −τ): |
||||||||||||||||
|
f (t)=1 σ(t)−1 σ(t −a)+ |
2a −t |
σ(t −a)− |
2a −t |
σ(t −2a). |
|||||||||||
a |
a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Преобразуем |
функцию |
|
2a −t |
|
так, |
чтобы ее можно было |
|||||||||
|
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t − a): |
||||
рассматривать |
как |
функцию |
аргумента |
|||||||||||||
|
2a −t |
= − |
t − 2a |
= − |
(t − a)− a |
= − |
t − a |
+1. Тогда |
|
|||||||
|
|
a |
|
a |
|
|||||||||||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f(t)=σ(t)−σ(t − a)− (t −a a) σ(t − a)+σ(t − a)+
+t −a2a σ(t −2a)=σ(t)− t −a a σ(t −a)+ t −a2a σ(t −2a).
• |
1 |
• |
1 |
|
|
Поскольку σ(t)← |
|
, а t σ(t)← |
|
, то по теореме |
|
p |
p2 |
||||
• |
• |
|
запаздывания и свойству линейности изображение для f (t) будет равно
F (p)= |
1 |
− |
1 |
e−ap + |
1 |
e−2ap . |
|
p |
ap2 |
ap2 |
|||||
|
|
|
|
5