1 – ый способ

1

Дробь

(p +1)(p2 +1)

можно представить в виде суммы

простейших дробей:

1

A

Bp + C

(p +1)(p2 +1)=

+

.

p +1

p2 +1

это уравнение p = −1. Тогда 1 = 2A , или

A =

1

.

2

Приравнивая коэффициенты

при p2 , p1 и p0 в обеих

частях тождества, получим систему линейных уравнений

0

= A

+ B

= B

+C ,

0

= A +C

1

коэффициенты

B

и C . Из первого уравнения этой системы

B = −

1

, из второго уравнения C =

1

. Следовательно,

2

2

1

1

−

1

p +

1

1

1

1

p

2

2

2

(p +1)(p2 +1)=

+

=

−

+

p +1

p2 +1

2

p +1

2

p2 +1

1

1

•

1

σ

(t) e−t −

1

cos t σ(t)+

1

sin t σ(t).

+

→

2

p2 +1

2

2

2

•

Для

функции

1

точки

p1 = −1 ,

p2 = i

и

(p +1)(p2 +1)

p3 = −i

-

простые

полюсы.

Поэтому,

используя

теорему

разложения, имеем

1

•

1

→

e pt (p

+1)

+

(p +1)(p2 +1)

lim

(p +1)(p2 +1)

•

p→ −1

+

lim

1

e pt

(p −i) +

p→ i

(p

+1)(p −i)(p +i)

+

lim

1

e pt

(p + i)

=

e−t

+

eit

+

2

(1 + i)2 i

p→ − i (p +1)(p −i)(p + i)

e−it

1

e

−t

1

(1 −i)eit

1

(1 + i)e−it

+

=

+

−

=

(1 −i)(− 2 i)

2

2

2 i

2

2 i

1

e

it

− e

−it

e

it

+ e

−it

1

(e−t

+sin t −cos t).

=

e−t

+

−

=

2

2 i

2

2

1

•

1

(e−t +sin t −cost)σ(t),

3) Так как

→

то

(p +1)(p2

+1)

2

•

по теореме запаздывания получим

1

e−π p

•

→

(p +1)(p2

+1)

•

y(t)=

2

+

1

(e−t +sin t −cos t)

σ(t)+

2