F (p)=

1

+

1

e−3 p .

(p −

2)2

p3 −1

•

f (t)

•

(p −α).

eαt ← F

•

Теорема разложения

(p)

Если изображение

F(p)=

Rn

является правильной

Q

(p)

m

оригинал f (t) для него

рациональной

дробью

( n < m ),

то

определяется формулой

F(p)=

R

(p)

•

n

(F(p) e pt )= f (t),

n

→ ∑ res

Qm (p)

•

k =1 p= pk

1) Для изображения

1

оригинал можно найти двумя

p3 −1

Дробь

1

можно представить в виде суммы простейших

p3 −1

1

1

A

Bp +C

=

(p −1)(p2 + p +1)=

+

.

p3 −1

p −1

p2 + p +1

это уравнение p =1. Тогда 1 = 3A , или A =

1

.

3

Приравнивая коэффициенты при p2 ,

p1 и p0 в обеих

частях тождества, получим систему линейных уравнений

0 = A + B

= A − B +C ,

0

1 = A −C

коэффициенты B

и

C . Из первого

уравнения

этой системы

B = −

1

, из третьего уравнения C = −

2

. Следовательно,

3

3

1

1

p

2

1

−

−

.

=

3

+

3

3

p −1

p3 −1

p2 + p +1

Преобразуем полученные дроби так, чтобы можно было

воспользоваться теоремой смещения:

1

1

1

1

1

p + 2

2 −

p3 −1 =

3

p −1

− 3

1

2

3

p +

+

2

2

1

=

1

(p −1)(p2 + p +1).

p3 −1

p2,3 = −1 ±

1 − 4

= −

1

± i

3 .

2

2

2

Точки

p

=1 ,

p

2

= − 1 + i

3

и

p

3

= − 1

− i

3

-

простые

1

2

2

2

2

1

полюсы функции

.

p3 −1

Используя теорему разложения, получим

1

•

1

1

3

→res

3

e

pt

+

res

3

e

pt

+

p

−

−1

1 •

p=1

p

−1

p=−

1

+i

3 p

2

2

1

e

pt

+

res

e pt

=

(p −1)

+

3

lim

1)(p

2

+1)

1

+ p

p=−1

−i

3 p

−

p→1

(p −

2

2

pt

1

3

e

−

+ i

p −

2

2

+

lim

+

1

3

1

3

→ −

1

+

3

p

i

2

2 (p −

1) p

−

− 2 + i

2

p −

− 2 − i

2

pt

1

3

e

−

− i

p −

2

2

+

lim

=

3

1

3

1

3

→ −

1

−

p

i

−

− 2 + i

2

− 2 − i

2

2

2 (p −1) p

p −

1

3

1

3

−

+ i

−

− i

et

2

2

t

2

2

t

=

+

e

+

e

=

3

3

3

3

3

−

+ i

− i

2

2

(i 3)

−

2

2

(−i 3)

2 e−

1

ei

3

2 e−

1

e− i

3

et

2 t

2

t

2 t

2 t

=

3 −

3

(

3 −i)i +

3

(

3 +i)i

=

2 e−

1

ei

3

t ( 3 + i)

e− i

3

t ( 3 − i)

=

et

−

2 t

2

−

2

=

3

3

4i

4i

1

3

3

3

3

= e

t

− e

−

2 t

i

2

t

− i

2

t

i

2

t

− i 2

t

=

3 e

− e

+ e

+ e

3

3

2 i

2

1

e

t

e

−

2 t

3

3

=

−

3 sin

t

+cos

t

3

3

2

2

=