Тогда J = ∫dt |
= ln |
|
t |
|
+C = ln |
|
ln x |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫x3 (x4 + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Замена t = x4 + 2, dt = d(x4 + 2)= 4x3dx, x3dx = dt 4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 t |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
J = ∫t |
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫t |
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
+C |
= |
|
|
|
|
|
(x |
|
|
+ 2) |
+C. |
|||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
4 3 |
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 10. |
|
|
J = ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подстановка |
x = t2 , |
dx = 2t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
J = ∫ |
2t dt |
|
= 2∫ |
t +1−1 |
dt = |
2∫ |
t +1 |
dt − |
2∫ |
|
|
dt |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||
t +1 |
|
|
|
t +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= 2∫dt − 2∫t dt+1 +C == 2t − 2ln t +1 +C = 2
x − 2ln
x +1 +C.
Замечание. Так как по определению дифференциала
df |
′ |
d(C + x)= dx, d(Cx)= Cdx, |
= fxdx, |
то примеры 2-9 могут быть решены иначе, без замены переменной
J = ∫ |
|
xdx |
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
|
2xdx |
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
d(x2 + a2 ) |
= |
1 |
ln |
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
+C. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ a |
2 |
|
2 |
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
2 |
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
J = ∫sin5 xcos x dx = ∫sin5 x d |
(sin x)= |
1 sin6 x +C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
J = ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 ∫d(2x +5) |
= |
1 ln |
|
2x + |
5 |
|
+C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2x +5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (ax +b)n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
J = ∫(ax +b)n dx = |
∫(ax |
+b)n d(ax +b)= |
+C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
n +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d( |
|
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
J = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctg |
|
|
5x +C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1+ |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Метод интегрирования по частям
Если u(x), v(x)− дифференцируемые функции, то справедлива формула, называемая формулой интегрирования по частям
∫u dv = uv − ∫v du , |
(А) |
6 |
5354.ru |
применяемая в тех случаях, |
когда интеграл |
∫vdu табличный или легче |
||||||||||||||||||||||||
сводится к табличному, чем |
∫udv . Данная формула часто используется |
|||||||||||||||||||||||||
при вычислении интегралов вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫P(x)eαxdx, |
|
|
|
|
∫P(x)sin βx dx, |
|
|
∫P(x)sin βx dx, |
|||||||||||||||||
|
∫P(x)ln x dx, |
|
|
|
∫P(x)arctgx dx, |
|
|
∫P(x)arcsin x dx , |
||||||||||||||||||
где P(x) |
– некоторый многочлен. В первых трех интегралах за dv |
|||||||||||||||||||||||||
удобно выбрать |
|
eαxdx, |
sin βx dx, cos βx dx, |
в трех последних интегралах в |
||||||||||||||||||||||
качестве функции |
u(x) |
|
удобно выбрать функции |
|
ln x, arctg x, arcsin x. |
|||||||||||||||||||||
Пример 11. |
|
|
|
|
J = ∫xe2xdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
выберем |
u = x, |
dv = e2xdx , |
|
тогда |
|
du = dx, |
v = ∫e2xdx = |
|
1 e2x , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
подставив в (А), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
2x |
|
1 |
|
|
2x |
|
x |
|
2x |
|
1 |
|
2x |
|
|
e2x |
|
|
1 |
|
|
J |
= |
|
|
e |
|
− |
|
∫e |
|
dx = |
|
e |
|
− |
|
e |
|
+C = |
|
x − |
|
+C . |
|||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Замечание. Так как
∫u dv = ∫ud(v +C)= u(v +C)− ∫(v +C)du =uv +Cu − ∫v du −Cu = uv − ∫vdu,
то при определении v по дифференциалу dv будем полагать константу равной нулю.
Пример 12. J = ∫x2 cos3xdx.
Полагая u = x2
Полагая u = x,
J = x2
3
, dv = cos3xdx, du = 2x, |
|
v = |
1 sin 3x , |
|
будем иметь |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
x2 |
sin 3x − |
2 ∫xsin 3xdx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = sin 3xdx, |
|
du = dx, |
v = −1 cos3x , получим |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
sin 3x − |
|
∫xsin 3xdx = |
|
|
|
sin 3x − |
|
|
− |
|
|
cos3x + |
3 |
∫cos3xdx |
= |
||||||||
3 |
|
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
x2 |
sin 3x |
+ |
2x |
cos3x − |
2 |
|
sin 3x +C. |
|
|
||||||||||
|
|
3 |
9 |
|
27 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5354.ru |
||
|
|
|
J = ∫x5 ln xdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 13. |
|
|
u = ln x, |
dv = x5dx, |
du = |
1 dx, v = |
x6 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J = |
x6 |
ln x − ∫ |
x6 |
dx |
= |
|
x6 |
ln x − |
x6 |
+C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
J = ∫arctg x dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 14. |
|
u = arctg x, du = |
|
|
|
|
dx |
|
|
, dv = dx, v = x, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
J = x arctg x − 1 ∫ |
d(1+ x2 ) |
|
= x arctg x − |
1 ln(1+ x2 )+C. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
Пример 15. |
|
|
|
|
J = ∫ |
x2dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(1+ x2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
1 |
d(1+ x2 ) |
1 |
|
|
|||||||||||||
u = x, du = dx, dv = |
|
|
|
, v = ∫ |
|
|
= 2 |
∫(1+ x2 )2 |
= − |
2(1+ x2 ) |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
(1+ x2 )2 |
(1+ x2 )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
J = − |
2(1+ x2 ) |
+ 2 ∫ |
|
= − |
2(1+ x2 ) |
+ |
2 arctg x +C . |
||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Упражнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. ∫xcos2 xdx |
2. ∫x arctgx dx |
3. ∫(x2 + 2x +3)cos xdx |
4. ∫ |
ln x |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
5. ∫ln2 x dx |
6. ∫x3e−xdx |
|
|
|
|
|
7. ∫arcsin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
8. ∫(x +1)exdx |
|||||||||||||||||||
8 5354.ru