Нетрудно видеть, что это приведёт к довольно трудоёмким вычислениям, так как разложение будет содержать пять слагаемых. Результат можно
получить гораздо быстрее и проще, если преобразовать подынтегральную функцию следующим образом:
|
x2 + 2x |
= |
(x2 + 2x +1)−1 |
= |
|
(x +1)2 −1 |
= |
1 |
|
− |
1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(x +1)5 |
|
|
(x +1)3 |
|
(x +1)5 |
|
|
|
|||||||
|
(x +1)5 |
(x +1)5 |
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда легко получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
J = ∫ |
|
− ∫ |
|
= − |
|
+ |
|
+C. |
|||||||||
|
|
|
(x +1)3 |
(x +1)5 |
2(x +1)2 |
4(x +1)4 |
||||||||||||||
Ответы к упражнениям
Интегрирование по частям (стр.9).
1. |
|
1 x2 + |
1 xsin 2x + |
1 cos2x +C . |
|
|
2. |
|
|
x2 +1 |
arctg x − |
x |
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
3. |
(x +1)2 sin x + 2(x +1)cos x +C . |
|
4. − 1 (ln |
|
x |
|
+1 )+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x [(ln |
|
|
|
|
|
|
|
−1)2 +1]+C . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
6. −e−x (x3 +3x2 + 6x + 6)+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
8. |
|
xex +C . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
xarcsin x + 1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование рациональных функций (стр.16). |
||||||||||||||||||||||||||
1. |
− 2 ln |
|
x |
|
+ |
5 ln |
|
x −3 |
|
+C . |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ln(x2 |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
31 |
ln |
|
x − |
3 |
|
+ |
|
29 |
ln |
|
x +3 |
|
+9)− |
arctg |
+C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
54 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
1 |
|
x |
|
x −1 |
|
|
|
|||||
4 ln |
|
|
− |
|
+C . |
|
|
x − 2 |
2x(x − 2) |
||||
4. |
1 |
ln |
(x − 2)2 |
− |
1 |
|
|
arctg |
x + |
1 |
+C . |
||
24 |
x2 + 2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
1 |
+ |
1 ln |
(x −1)2 |
|
+ |
1 |
|
arctg |
2x +1 |
+C . |
6. |
x2 |
+7x + |
75 ln |
|
x −5 |
|
− |
1 ln |
|
x −1 |
|
+C . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций (стр.24).
25 5354.ru
1. |
|
1 sin 2x − 1 sin 4x +C . |
|
|
2. |
1 ln |
|
5 tg |
x |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
−cos x + 2 cos3 x − 1 cos5 x +C . |
|
|
4. |
3 x + 1 sin 2x + |
1 |
|
sin 4x +C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
32 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
|
x |
|
− |
1 |
sin 4x +C . |
|
|
6. |
− |
|
|
|
2 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
32 |
|
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
tg x + 2 |
|
|
+C . |
|
|
8. |
2 tg3 |
x |
− 2 tg |
x |
|
+ x +C . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tg x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1−2x |
|
−2 4 |
1−2x |
|
−2ln |
4 |
1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
x − 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
|
|
x2 |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
12. |
1 arcsin x − 1 x |
|
|
|
1 x3 |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x5 |
− 2 |
|
|
+ 6 6 |
|
|
|
−6 arctg 6 |
|
|
1− x2 + |
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
13. |
|
|
|
|
x |
+1 |
−3 |
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
− 4 arcsin |
9 −2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
15. |
|
|
2 |
1 |
+ x |
32 |
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
x +3 + 4ln |
|
|
|
x +3 −2 |
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
26 5354.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. Индивидуальные задания |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− 4cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx , |
∫ |
|
dx , ∫ 2x +1 dx , ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
9 + |
|
4x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫2 |
|
|
|
|
dx |
, ∫ |
x +3 |
dx |
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 + 4x |
2 |
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x |
2x − x |
2 |
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x +1 |
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3. |
∫xe2x dx , |
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∫ln 2x dx , |
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∫sin |
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dx , |
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∫x cos3x dx . |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
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4x |
|
−2 |
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dx , |
∫ |
|
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2x +1 |
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dx , |
|
|
|
∫ |
2x |
2 + 2x +1 |
dx . |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x −1)(x + |
2) |
(x +1)(x + 2) |
2 |
|
|
|
|
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x |
2 |
|
+ 2x |
|
−3 |
|
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dx |
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dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
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3x −1 |
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dx , ∫ |
|
|
|
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|
dx , ∫ |
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|
|
, ∫ |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
− x2 |
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4 |
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3x −1 +1 |
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x + 2 |
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|
x |
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x 1+ x |
2 |
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6. |
∫ |
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dx |
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|
, |
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|
∫sin3 x dx , |
|
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|
∫tg 4 x dx , |
|
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|
∫sin 2x cos 4x dx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4sin x +3cos x +5 |
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Вариант 2 |
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||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
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1 2 |
dx , ∫ |
cos 2x |
dx , ∫x |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
dx , ∫ |
|
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1 |
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|
dx |
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|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1− |
|
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1+tg x |
cos |
2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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2. |
∫ |
|
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|
|
dx |
|
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|
|
, |
|
|
|
|
∫etg x |
|
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dx |
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
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|
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|
dx |
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|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
x |
|
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|
|
dx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
x |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
+ 4x +3 |
|
|
1+ x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 −9x |
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|
cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x5 ln x dx , |
|
|
|
|
∫arctg x dx , |
|
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|
∫x2 sin 2x dx , |
|
|
|
∫x e2x dx . |
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
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|
|
3x −2 |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
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∫ |
7x |
2 +7x −1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)(x − |
1) |
|
|
|
|
(x + 2)(x −2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+3x |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
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dx |
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|
|
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|
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|
|
x2 |
|
− |
1 |
|
|
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|
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1 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫x x +1 dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 − x − |
|
|
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|
|
5 |
− x |
|
|
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||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
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|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫sin 4 x cos x dx , |
|
|
|
∫tg 4 xsin 2 x dx , |
|
∫sin 4 x dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 −3cos x |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
27 5354.ru
|
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|
Вариант 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
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|
dx |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
1. |
∫x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
∫ctg |
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|
|
|
|
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|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
3 + ln x |
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
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|
dx , |
|
|
|
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|
|
x dx , |
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|
|
, |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
sin 2x |
|
|
dx , |
|
|
∫2−2x+3 dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
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x |
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|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 2x +3 |
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x cos3x dx , |
∫(x +1)e−2x dx , |
|
∫arctg x dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
ln x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
x2 + 2x −5 |
|
|
dx , ∫ |
x2 +16x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
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|
dx , |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (x +1) |
(x2 −1)(x − 2) |
|
x2 +8x −9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
x + 3 |
|
x2 |
|
)dx |
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
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|
|
x2 |
|
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|
dx . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(1+ 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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|
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(25 + x2 ) |
|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
25 + x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫cos3 x dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫tg 4 x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 +sin x + 2cos x |
|
|
|
|
1+sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Вариант 4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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(1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
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|
|
|
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|
|
1+sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
, ∫ |
|
dx |
, |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos2x |
|
x2 − 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫x |
2 |
e |
−x3 |
dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|
sin 2x |
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
∫ |
|
|
ln |
x |
|
|
dx , |
|
|
|
∫xe−x dx , |
|
∫xsin x dx , ∫cos |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
10x +1 |
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
3x2 + 7x + 7 |
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x +1)(x −1) |
|
(x +1)(x − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
16 − x |
2 |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
∫cos2 xsin x dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫sin2 2x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3sin x + 2cos x + 2 |
|
|
|
|
4 +sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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