LABORATORNIJ_PRAKTIKUM_Z_FIZIKI

Розділ 7. Термодинаміка

Одержане співідношення називається рівнянням Майєра.

Як бачимо, СP > CV . Це пов’язано з тим, що при ізобарному процесі газ не тільки нагрівається, але й виконує роботу.

Універсальна газова стала R чисельно дорівнює роботі, яку виконує один моль ідеального газу при його ізобарному нагріванні на один кельвін.

7.4. Адіабатний процес

Процес називається адіабатним, якщо він відбувається без теплообміну системи із зовнішніми тілами, тобто δQ = 0. Перший закон термодинаміки, застосований до адіабатного процесу, має вигляд:

звідки випливає, що газ виконує роботу тільки за рахунок внутрішньої енерґії, і адіабатне розширення (dV > 0) супроводжу – ється охолодженням газу, а адіабатний стиск (dV < 0) – його нагріванням.

Зв’язок між тиском і об’ємом при адіабатному процесі описується рівнянням Пуассона:

Розділ 7. Термодинаміка

Ентропія − це така термодинамічна функція, диференціал якої для елементарного оборотного процесу дорівнює елементарній зведеній теплоті:

де λ − питома теплота плавлення; Тпл − температура плавлення.

Ентропія може слугувати мірою необоротності термодинамічних процесів.

Всі процеси в замкненій системі ведуть до збільшення ентропії.

S = S2 – S1 ³ 0.

Знак рівності відповідає оборотним процесам, знак нерівності – необоротним, а принцип зростання ентропії – це ще одне формулювання другого закону термодинаміки.

53

Додаток 1. Елементи теорії похибок

Непряме вимірювання завжди містить в собі як складовий елемент прямі вимірювання, що відображено у виразі (1).

3. Істинне і виміряне значення фізичної величини

Надалі будемо користуватись поняттями:

∙істинного значення фізичної величини (хіст), яке чисельно повинно відображати вимірювану величину і знаходження якого є метою вимірювання;

∙виміряного значення фізичної величини (хвим), яке без-

посередньо одержують в результаті конкретного вимірювання.

Жодна фізична величина не може бути виміряна абсолютно точно. Тому хвим не збігається з хіст . Мірою відхилення хвим від хіст

є абсолютна похибка вимірювання, а мірою точності вимірювання – відносна похибка.

4. Абсолютна і відносна похибки вимірювання. Запис результату вимірювання

Абсолютною похибкою вимірювання (Dх) називається модуль різниці між істинним значенням вимірюваної величини і результатом окремого вимірювання.

Відносною похибкою вимірювання (dx) називається відношення абсолютної похибки Dх до істинного значення фізичної величини хіст:

Остаточно результат проведеного вимірювання записують у вигляді:

55

Теоретична частина

похибки можна умовно поділити на систематичні, випадкові і

промахи.

∙Систематичні похибки. Особливістю систематичних похибок є те, що їх числове значення і знак відхилення (в більший чи менший бік) від істинного значення фізичної величини регулярно повторюється від одного вимірювання до іншого або ж змінюється за певним законом. Ці похибки зумовлені недостат-

ньою точністю приладу, його невідрегульованістю або несправністю, а також недосконалістю методів вимірювання.

Як приклади прояву таких похибок можна привести зважування на невідрегульованих терезах, або використання при зважуванні неточних різноважок, чи вимірювання часу секундоміром, що спішить (відстає) і т. ін.

∙Випадкові похибки – це відхилення вимірювальної величини, які не можна передбачити. Вони проявляються у розкиді відліків при повторних вимірюваннях, здійснених в аналогічних умовах. Випадкові похибки описує теорія випадкових явищ (теорія імовірностей).

∙Промахи – це надзвичайно великі похибки, найчастіше зумовлені неправильними діями дослідника. За величиною вони значно перевищують всі інші. Аналізуючи числові значення вимірювань, їх необхідно виявляти і відкидати.

Зпогляду точності методи вимірювання поділяють на технічні

ілабораторні. При використанні приладів недостатньо високої точності (технічних) вимірювання проводиться лише один раз. Повторні вимірювання не дають нових числових значень і їх проведення не має змісту. Наприклад, при вимірюванні температури повітря в лабораторії термометром розширення маємо задовольнятись лише одним значенням вимірюваної величини. При цьому результат вимірювання записують у формі :

56

Додаток 1. Елементи теорії похибок

а величину абсолютної похибки х приймають такою, що дорів-

нює половині ціни найменшої поділки вимірного приладу (масштабної лінійки, термометра, рідинного барометра, манометра і т. п.).

При використанні у розрахунковій формулі табличних значень фізичних величин, наприклад, ρ = 2,7 ×103 кг/м3, величину похибки приймають такою, що дорівнює 5 одиницям розряду, який слідує за останньою значущою цифрою числа. У наведеному прикладі

ρ = 0,05 ×103 кг/м3.

При вимірюванні приладами вищої точності виникає проблема незбігання числових значень кожного нового виміру із попереднім. У цьому випадку проводять повторні вимірювання 3–5 і більше разів, а результат багаторазових вимірювань фізичної величини х записується набором значень:

де індекс n вказує на максимальне число проведених вимірювань. Доведено, що добрим наближенням до істинного значення вимі-

рюваної величини є середнє арифметичне результатів вимірювань хі:

Тому на практиці обробка результатів багаторазових прямих вимірювань зводиться до обчислення за формулою (8) середнього арифметичного значення виміряної величини, а потім – абсолютних похибок xi окремих вимірів (за формулою (9)).

Абсолютну похибку окремого вимірювання знаходять як модуль різниці між результатом кожного окремого вимірювання xi і середнім арифметичним x :

Після цього обчислюють середнє арифметичне значення абсолютних похибок окремих вимірювань

і подають результат вимірювання у формі :

57

Теоретична частина

Відносна похибка вимірювання визначається, як

6. Визначення похибок непрямих вимірювань

Розрахункова формула для знаходження числового значення непрямого виміру з погляду математики є функцією, а похибки прямих вимірювань еквівалентні приростам аргументів цієї функції.

Тому фізична задача знаходження похибки непрямого вимірювання формально зводиться до математичної задачі знаходження приросту функції.

6.1. Загальний метод визначення абсолютної похибки непрямого вимірювання

Як приклад розглянемо вимірювання прискорення вільного падіння g за допомогою математичного маятника. Відомо, що період коливань маятника визначається формулою:

де L − довжина нитки;

g − прискорення вільного падіння.

Оскільки T = Nt , де N − кількість коливань маятника за час t,

то розрахункова формула для вимірювання g набуде вигляду:

1. Врахуємо, що g = g (L, N, t, π ), де у дужках наведено перелік змінних величин, що входять у формулу. Вони одержані шляхом прямих вимірювань. Величина N є точною і її похибка

58

Додаток 1. Елементи теорії похибок

дорівнює нулю, а числове значення величини π можна взяти з точністю (наприклад, π =3,1415), яка значно перевищує точність прямих вимірювань, а тому надалі її похибкою також можна знехтувати і вважати, що g = g (L, t).

2. Запишемо вираз для диференціалу dg:

зують приріст функції при зміні кожного із аргументів L та t,

цьому користуємось правилом: всі фізичні величини, крім тих, за якими в даний момент беруться похідні, вважаються сталими і виносяться за знак похідної. Отже,

5. Повертаємось до фізичної сторони задачі. Для цього замінюємо символи диференціалів d на символи абсолютних похибок , беручи коефіцієнти при останніх (з міркувань врахування найбільш несприятливих умов реалізації знаків похибок) за абсолютною

величиною:

Отже, ми одержали формулу для обчислення абсолютної похибки непрямого вимірювання (прискорення вільного падіння).

6. Підставимо в одержану формулу середні значення виміряних величин L, t, а також N і π та їх похибок і проведемо обчислення.

59

Теоретична частина

7. Результат вимірювання g запишемо у формі:

6.2. Метод лоґарифмування

Якщо розрахункова формула містить переважно дії вищого порядку (множення, ділення, піднесення до степеня), то зручніше спочатку знайти вираз для обчислення відносної похибки непрямого вимірювання, скориставшись методом лоґарифмування розрахункової формули. Для цього:

1)записуємо розрахункову формулу (12);

2)лоґарифмуємо її:

4) замінюємо в останньому виразі символи диференціалів символами абсолютних похибок, беручи коефіцієнти при них (з міркувань врахування найбільш несприятливої комбінації знаків похибок) за абсолютною величиною:

5) обчислюємо відносну похибку δ g, а через неї – абсолютну похибку g;

6) подаємо результати вимірювань відповідно до (17), (18).

60