1.3.3. Теоремы сложения скоростей

Абсолютная скорость точки в её сложном движении складывается геометрически из переносной скоростии относительной скорости.

Доказательство

Из рисунка 1.3.1 имеем

. (1.3.9)

При непоступательном движении подвижной системы отсчёта

для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе координат, ортыизменяются по направлению, а координаты- по величине.

Дифференцируем выражение (1.3.8) по времени, получаем:

. (1.3.10)

В силу формул (1.3.8), (1.3.6), и (1.3.2) имеем:

, (1.3.11)

что требовалось доказать.

1.3.4. Теорема сложения ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки в её сложном движении складывается геометрически из переносного, относительногои кориолисова (поворотного)ускорений.

Доказательство

Дифференцируя по времени равенство (1.3.10) и группируя подобные члены получим следующее выражение абсолютного ускорения точки:

. (1.3.12)

Обозначим

. (1.3.13)

Тогда в силу выражений (1.3.8), (1.3.7) и (1.3.3) равенство (1.3.12) запишется:

, (1.3.14)

что требовалось доказать.

- поворотное или кориолисово ускорение.

1.3.5. Ускорение Кориолиса

При поступательном движении подвижной системы отсчётаортыпостоянны по направлению. Следовательно, кориолисово ускорение обращается в нуль. В этом случае теорема сложения ускорений выражается равенством:.

Рассмотрим другой частный случай: подвижная система отсчёта вращается вокруг неподвижной оси Oz (рис. 1.3.2). В этом случаеконцыортовможно рассматривать какточкитвёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости которых определяются формулой (1.2.20), то есть,,.

Подставляя эти выражения в (1.3.13) и принимая во внимание (1.3.2), получим . (1.3.15)

По определению векторного произведения двух векторов ивекторкориолисова ускорения перпендикулярен векторуии направлен в ту сторону, откуда поворот векторак векторуна меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 1.3.3).

Направление можно определять по правилуЖуковского: направлениесовпадает с направлениемпроекциивекторана плоскость, перпендику-лярную вектору, повёрнутой в этой плоскости на угол 90⁰ в сторону вращения подвижной системы отсчёта.

Модуль кориолисова ускорения равен:

W_c = 2ω_e V_r sin(),(1.3.16)

где ()-меньший угол между векторамии.

В общем случае, когда относительное и переносное движения точки М совершаются по криволинейным траекториям, составляющие итеоремы Кориолиса записываются в проекциях на естественные оси:

. (1.3.17)

В задачах, как правило, материальная точка или твёрдое тело, принимаемое за материальную точку, движется относительно твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Приведите примеры, когда движение точки можно рассматривать как

сложное.

2. Дайте определение абсолютного и относительного движений и, соответ-ственно, абсолютных и относительных скоростей и ускорений точки.

3. Дайте определение переносного движения, переносной скорости и переносного ускорения.

4. Сформулируйте теорему сложения скоростей и теорему сложения ускорений (теорему Кориолиса).

5. Как определяют модуль и направление ускорения Кориолиса? Когда оно равно нулю?

6. Решите самостоятельно задачи 22.14(22.14),23.9(23.9),23.27(23.27) из [3].