2.6.4. Теоремы об изменении кинетического момента системы

Производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра равна геометрической сумме моментов (главному моменту) всех внешних сил относительно того же центра.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек и движущуюся относительно инерциальной системы отсчетапод действием системы внешних и внутренних сил. Движение системы описывается системой дифференциальных уравнений (2.4.2).

Сложим почленно левые и правые части этих уравнений, предварительно умножив каждое из них векторно слева на соответствующий радиус-вектор , где. Тогда получим

. (2.6.12)

В этом равенстве, в правой части первое слагаемое – главный момент внеш-них сил, второе слагаемое равно нулю как главный момент внутренних сил. Вычислим производную по времениот кинетического момента системы

,

здесь первое слагаемое под знаком суммы равно нулю, поскольку и, как векторное произведение коллинеарных векторов.

Итак, получаем: и уравнение (2.6.13) примет вид

.(2.6.13)

Теорема доказана.

Проектируя обе части уравнения (2.6.14) на неподвижные оси , получим три алгебраические уравнения:

, , , (2.6.14)

где - кинетические моменты системы относительно осей, а , , - главные моменты внешних сил относительно тех же осей.

Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия:

1. Если, то и.

Если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра сохраняется постоянным.

2. Если , то и.

Если главный момент внешних сил относительно неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно той же оси сохраняется постоянным.

Эти два следствия называются законами сохранения кинетического момента системы.

Практическим преимуществом доказанной теоремы является то, что моменты внутренних сил непосредственно не влияют на изменение кинетического момента системы. Это вытекает из того, что главный момент всех внутренних сил для системы равен нулю.

2.6.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, и на которое действуют система внешних сили реакции опори(рис. 2.6.4).

Для решения задачи о вращении этого тела используем теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси (третье уравнение системы (2.6.14)):

. (2.6.15)

Кинетический момент этого тела согласно (2.6.10) равен .

Поскольку момент инерции является постоянной величиной, то уравнение (2.6.15) можно записать в форме

. (2.6.16)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Используя формулы кинематики , перепишем уравнение (2.6.16) в виде . (2.6.17)

В уравнениях (2.6.16) и (2.6.17) мерой вращательного действия сил на тело является главный момент внешних сил относительно оси, а мерой инертности тела – момент инерцииотносительно той же оси.

С помощью дифференциальных уравнений (2.6.16) и (2.6.17) можно решать как прямую, так и обратную задачи динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вопросы для самопроверки по теме 2.6

1. Дайте определение момента количества движения точки относительно неподвижных центра и оси.

2. В каких случаях момент количества движения точки относительно центра, а также относительно оси, равен нулю?

3. Что такое кинетический момент системы относительно неподвижных центра и оси?

4. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра и оси.

5. В каком случае кинетический момент системы сохраняется постоянным или равным нулю?

6. Определите кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

7. Могут ли внутренние силы изменить кинетический момент системы, почему?

8. Дайте определение момента инерции твердого тела относительно оси; радиуса инерции тела относительно оси.

9. Напишите дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

10. Каков физический смысл момента инерции твердого тела относительно оси вращения?

11. Решите самостоятельно задачи 37.5(37.5), 37.9(37.10), 37.12(37.15), 37.53(37.52) из [3].