2.7.9. Закон сохранения механической энергии

Обозначим кинетическую энергию системы в положениях ичерези. Согласно теореме об изменении кинетической энергии системы:.

С учетом соотношения (2.7.29) можно записать

,

или . (2.7.30)

Величина ,

равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией системы.

Уравнение (2.7.30) выражает закон сохранения полной механической энергии:при движении механической системы в потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной.

Отметим, что этот закон является частным случаем более общего физического закона сохранения энергии.

Механические системы, на которые действуют только потенциальные силы и для которых справедлив закон сохранения механической энергии, называются консервативными. Если же в число действующих на систему сил входят и непотенциальные силы, например, силы сопротивления, то полная механическая энергия будет убывать, преобразуясь в другие виды энергии.

Вопросы для самопроверки по теме 2.7

10. Дайте определение кинетической энергии точки, системы.

11. Как определяется кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение?

12. Что такое элементарная работа силы? Какие формулы определяют элементарную работу?

13. В каких случаях элементарная работа силы равна нулю?

14. Как определяется конечная работа силы?

15. Чему равна работа силы тяжести материальной точки, твердого тела, системы?

16. Чему равна работа силы упругости?

17. Определите элементарную работу силы, а также системы сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

18. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и интегральной формах.

19. Решите самостоятельно задачи 38.14(38.13), 38.29(38.39), 38.40(38.41), 38.44(38.45) из [3].

20. Дайте определение силового поля. Приведите примеры силовых полей.

21. Когда силовое поле считается потенциальным?

22. Определите работу при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле.

23. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.

2.8. Метод кинетостатики (принцип Даламбера)

2.8.1. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы

Мы рассмотрели методы решения задач динамики, которые основываются на уравнениях, вытекающих непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствием этих законов. Рассмотрим другой метод решения задач механики, согласующийся с законами Галилея- Ньютона, и позволяющий в ряде случаев эффективнее решать задачи динамики точки и, особенно, динамики механической системы. Это метод кинетостатики, основанный на принципе Даламбера.

Пусть в инерциальной системе отсчёта на несвободную материальную точку массой m действует система активных сил, равнодействующую которых обозначим, и реакция связи. Тогда основное уравнение динамики точки запишется. (2.8.1)

Этому уравнению можно придать вид уравнения статики, записав его сле-дующим образом , (2.8.2)

где .

Векторную величину , равную по модулю произведению массы точки на её ускорение и направленную противоположно вектору ускорения, называютсилой инерцииточки.

Итак, если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной.Это положение выражаетпринцип Даламбера для ма-териальной точки.

Равенство (2.8.2) представляет собой уравнение движения материальной точки, записанное в форме условия равновесия сил и называется уравнением кинетостатики для материальной точки (см. п.2.3.2).Метод кинетостатикиявляется формальным приёмом сведения уравнений динамики к уравнениям статики, поскольку сила инерции не относится к категории физических сил. Однако при решении практических задач, в частности по определению реакций связей в механических системах, такой приём обладает рядом достоинств.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек.

На некоторую точку массой системы действуют внешние и внутренние cилы, состоящие из активных сил и реакций связей. Обозначим равнодействующую внешних сил через, а внутренних – через. Под действием этих сил точка будет двигаться относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением. Введя для указанной точки силу инерции, получим согласно равенству (2.8.2) уравновешенную систему сил

. (2.8.3)

Повторяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придём к следую-щему результату, выражающему принцип Даламбера для системы:если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на неё внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии , и сумма их моментов относительно любого центраО равны нулю. Тогда на основании принципа Даламбера получим следующиеуравнения кинетостатики для механической системы:

(2.8.4)

;

,

г

(2.8.5)

де согласно свойству внутренних сил главный вектори главный момент этих силравны нулю. Тогда система уравнений(2.8.4) окончательно примет вид;

,

Применение уравнений кинетостатики (2.8.5) упрощает процесс решения задач динамики механической системы, так как эти уравнения не содержат внутрен-них сил. Ими особенно удобно пользоваться при изучении движения твёрдого тела или системы твёрдых тел.

В проекциях на координатные оси равенства (2.8.5) дают уравнения анало-гичные уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями надо знать выражения главного вектора и главного моментасил инерций.