2.1.3. Законы механики Галилея – Ньютона

Эти законы были сформулированы И. Ньютоном в 1687г. в трактате «Математические начала натуральной философии» и представляют собой постулаты, обобщающие наблюдения и опыт человечества.

Первый закон (закон инерции Галилея):изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Изолированнойназывается материальная точка, не взаимодействующая ни с какими другими материальными телами( по причине их отсутствия или их нахождения на таком большом расстоянии от рассматриваемой точки, что её взаимодействием с ними можно пренебречь).

Движение изолированной материальной точки, устанавливаемое 1- м законом, называется движением по инерции; подобное движение есть следствие не только изолированности точки, но и её «материальности», иначе инертности, мерой которой служит масса точки. Важно отметить, что 1-й закон в неявной форме постулирует существование системы отсчета, в которой изолированная материальная точка движется по инерции. Такая система отсчёта называетсяабсолютной или неподвижной. Но как известно из кинематики, равномерное прямолинейное движение точки в одной системе отсчёта будет таким же ( хотя и с другой скоростью) в любой другой системе, движущейся по отношению к первой поступательно, равномерно и прямолинейно. Все такие системы отсчёта называютсяинерциальными.

Второй закон (основной закон механики):сила, приложенная к свободной материальной точке, сообщает ей ускорение, пропорциональное силе и на-правленное в сторону действия силы (рис.2.1.7).

Математическая запись 2-го закона имеет вид

, ( 2.1.1)

где – сила, приложенная к материальной точке массыm,– вектор её абсолютного ускорения. Отметим, что равенство (2.1.1) не изменяется при переходе к любой другой инерциальной системе отсчёта, поскольку, как это известно из кинематики сложного движения ускорение точки при этом остаётся неизменным.

Как следует из (2.1.1) одна и та же по величине сила, будучи приложенной к точкам различной массы, сообщает большее ускорение той точке, у которой меньше масса. Именно это обстоятельство позволяет рассматривать массу точки как меру еёинертности, т.е. способности сопротивляться изменению скорости точки, и называтьмассу, фигурирующую во втором законе,инертной. Если единственной силой, действующей на свободную точку, является её вес (сила тяжести), то уравнение (2.1.1) приобретает вид

, (2.1.2)

где - ускорение, сообщаемое свободной точке её весом (силой тяжести). Галилеем была установлена (за 50 лет до Ньютона) независимость ускоренияот массы падающего тела. Поэтому для любых двух тел массыm₁ иm₂в соответствии с (2.1.2) будем иметь, (2.1.3)

т.е. веса тел пропорциональны их массам.

Второй закон дополняется Ньютономаксиомой о параллелограмме сил, в соответствии с которой две приложенные к свободной материальной точке си-лыиоказывают на неё такое же действие, что и одна сила, величина и направление которой совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на силахикак на сторонах (рис. 2.1.8,а); математически это отображается векторным равенством

, (2.1.4)

где сила называется равнодействующей сили.

Аксиому о параллелограмме можно представить также в виде правила треугольника (рис. 2.1.8,б ), последовательное распространение которого на случай какого угодно числа силприводит к правилу силового многоугольника (на рис. 2.1.8,впредставлен случайn=5), определяющего равнодействующую приложенных к точке сил как замыкающуюих силового много угольника. Математически это соответствует геометрическому суммированию

. (2.1.5)

Подставляя значение из (2.1.5) в равенство (2.1.1), приходим косновному уравнению динамики материальной точки

. (2.1.6)

Рассмотрим частный случай, когда, начиная с некоторого момента времени , равнодействующая сил, приложенных к точке, равна нулю (в случае двух сил для этого достаточно, чтобы они были равны по величине и противоположны по направлению). Тогда, как следует из (2.1.6) длябудем иметь

, (2.1.7)

откуда . (2.1.8)

Таким образом, под действием сил, равнодействующая которых равна нулю, материальная точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, т.е. так, как если бы она была изолированной.

С другой стороны, если точка находится под действием сил в состоянии постоянного покоя, то это состояние называют статическим равновесием. В таком состоянии ускорение точки равно нулю и из (2.1.6) вытекает равенство

, (2.1.9)

представляющее собой необходимое условие равновесия точки. По аналогии с основным уравнением динамики точки (2.1.6) равенство (2.1.9) можно назвать основным уравнением статики точки.

Третий закон (принцип равенства действия и противодействия):силы механического взаимодействия двух точек равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.

Этот закон устанавливает характер механического взаимодействия двух тел и в этом смысле является основой дляпостроения механики материальной системы.

Геометрически 3-й закон проиллюстрирован (для случая двух отталкивающихся точек) на рис. 2.1.9, где через обозначена сила, с которой точка 2 действует на точку 1, а через- сила, с которой точка 1 действует на точку 2.

Тот факт, что эти силы равны по величине и противоположны по направлению, отражается равенством , (2.1.10)

из которого, однако, не следует, что иимеют общую линию действия. Чтобы математически учесть и это обстоятельство введём понятие момента силы.

Момент силы относительно центра. Рассмотрим силу, приложенную в некоторой точкеА пространства (рис. 2.1.10). Рассмотрим также точкуО того же пространства и назовём еёцентром.

Моментом силы относительно центра О называется вектор, равный векторному произведению радиус-векторана вектор силы

. (2.1.11)

Вектор будем считать приложенным в центреО. Вектор, в соответствии с определением векторного произведения двух векторов, перпендикулярен плоскостиП, проведённой через центрО и линиюabдействия силы ,и направлен в ту сторону, откуда воображаемый поворот силою плоскостиП вокруг центра О кажется происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль вектора числено равен площади параллелограмма, построенного векторахикак на сторонах, т.е. или, (2.1.12)

где расстояние , равное длине перпендикуляра, опущенного из центраОна линиюabдействия силы,называется плечом силыотносительно центраО. Из (2.1.12) видно, что величина и направление момента силы не изменятся при произвольном перемещении этой силы вдоль её линии действия, и что момент силы относительно центра равен нулю, если этот центр расположен на линии действия силы.

Таким образом, полная математическая запись 3-го закона Ньютона должна содержать два равенства

Сформулированное условие уравновешенности двух сил, приложенных к свободной материальной точки, нельзя распространять на условия уравновешенности двух сил, приложенных к различным точкам твёрдого тела. Поэтому ниже приводимаксиому,определяющую условие уравновешенности двух сил, действующих на твёрдое тело.

Две силы, приложенные к двум точкам абсолютно твёрдого тела, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю(), действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны(рис. 2.1.11).