2.6. Теорема об изменении главного момента количества

движения (кинетического момента) системы

При изучении темы предстоит усвоить и научиться применять при решении задач следующие понятия, теорему и следствия из этой теоремы: 1. момент количества движения точки относительно центра 2. момент количества движения механической системы относительно центра 3. теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра 4. теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно оси 5. Если топервое следствие из теоремы об изменении кинетического момента системы 6. Если товторое следствие из теоремы об изменении кинетического момента системы 7. кинетический момент твёрдого тела относительно неподвижной оси 8. дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела относительно оси 9. момент инерции точки относительно оси 10. момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через его край 11. момент инерции однородного круглого цилиндра относительно оси, совпадающей с его геометрической осью 12. момент инерции тонкого кольца относительно оси, совпадающей с его геометрической осью

2.6.1. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси

Понятие момента количества движения точки математически аналогичнопонятию момента силы (смотри тему 2.1).

Пусть точка движется относительно неподвижной системы координат; положение точки определяется ее радиус-вектором, а ее количество движения равно(рис. 2.6.1). Напомним, что моментом силы относительно центраявляется вектор, приложенный в этом центре.

Аналогично вводится понятие момента количества движения точки относительно центра :

. (2.6.1)

Векторприложен в центреи в соответствии с правилом векторного произведения направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектори центр, в ту сторону, откуда движение точки видно происходящим в направлении против хода часовой стрелки. Модуль этого вектора равен, (2.6.2)

где - плечо вектораотносительно центра.

Аналогично понятию момента силы относительно оси, вводится понятие момента количества движения точки относительно оси.

Моментом количества движения точки относительно осиназывается алгебраическая величина, равная произведению проекции количества движения точки на плоскость, перпендикулярную к оси, на расстояниеот этой оси до линии проекции (рис. 2.6.1):

. (2.6.3)

2.6.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси

Кинетическим моментом системы относительно центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:

. (2.6.4)

Кинетическим моментом системы относительно оси(например, оси) называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно оси:

. (2.6.5)

2.6.3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной осис угловой скоростью(рис. 2.6.2). При этом некоторая точка тела движется по окружности с радиусом, равным расстояниюточки от оси. Скоростьточки и ее количество движениянаправлены по касательной к этой окружности, то есть перпендикулярно радиусув сторону вращения тела. Векторыирасполагаются в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Момент количества движения точкив соответствии с (2.6.3) равен:. (2.6.6)

Здесь - проекция вектора скоростина касательную к траектории точки, равная в соответствии с формулой (1.2.15) из темы 1.2.

Поэтому получим: . (2.6.7)

Величина является алгебраической, ее знак определяется знаком, то есть направлением вращения тела вокруг оси.

В соответствии с (2.6.5) кинетический момент вращающегося твердого тела равен сумме моментов количеств движения всех точек твердого тела:

. (2.6.8)

Здесь учтено, что является общим множителем при рассмотрении всех точек тела.

Введем обозначение . (2.6.9)

Величина называетсяосевыммоментом инерции тела относительно оси .Окончательно получим:

. (2.6.10)

Знак определяется знаком угловой скоростивращения твердого тела.

Определенный таким образом кинетиче-ский момент можно считать мерой вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Если известен момент инерции относительно центральной оси(оси, проходящей через центр масстела), то можно определить момент инерции тела относительно любой оси, параллельной центральной. При этом используется теорема Гюйгенса-Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей (рис.2.6.3):момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

То есть . (2.6.11)