Определитель произвольного порядка
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов
любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:
= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain
( разложение по элементам i −ой строки; i =1,2,..., n)
= a1 j A1 j +a2 j A2 j +... +anj Anj
( разложение по элементам j −го столбца; j =1,2,..., n)
Пример. Найти определитель
Решение
i =1
3 |
−4 |
6 |
|
|
|||
2 |
−3 |
1 |
|
−3 |
5 |
1 |
|
= A =3 A11 +(−4) A12 +6 A13 = 3 (−8) +(−4) (−5) +6 1 = 2
A11 = −8 A12 = −5 A13 =1
j=3
=6 A13 +1 A23 +1 A33 = 6 1+1 (−3) +1 (−1) = 2
A13 =1 |
A23 = −3 A33 = −1 |
Пример. Вычислить определитель
Решение
3 |
0 |
7 |
11 |
|
|
||||
−2 |
5 |
9 |
−4 |
|
1 |
0 |
3 |
8 |
|
4 |
−1 |
6 |
0 |
|
j = 2 |
|
A |
|
= 0 A12 +5 A22 +0 A32 +(−1) A42 =5A22 − A42 |
|
|
A22 = |
|
3 |
7 |
11 |
|
={3 3 0 + 4 7 8 +1 6 11}−{4 3 11 +3 6 8 +1 7 0}= |
|
|
|||||
|
1 |
3 |
8 |
|
||
|
|
4 |
6 |
0 |
|
={0 + 224 +66}−{132 +144 +0}= 290 −276 =14 |
|
|
|
|
|
|
A42 = |
3 |
7 |
11 |
={3 9 8 +1 7 (−4) +11 (−2) 3}−{1 9 11 +8 7 (−2) +3 3 (−4)}= |
−2 9 |
−4 |
|||
|
1 |
3 |
8 |
={216 −28 −66}−{99 −112 −36}=171 |
|
|
|
|
|
A =5A22 − A42 |
|
A22 =14 |
A42 =171 |
A =5 14 −171 = −101