Минор k-го порядка
Минором порядка k заданной матрицы называется определитель любой квадратной матрицы k-го порядка, которая находится на пересечении произвольных k столбцов и k строчек прямоугольной матрицы.
k столбцов
k
строк
• •• *• *
• •• *
• •
•• *•
••
•*
•*
••
•*
••
•*
••
••
•*
•*
••
•*
••
•*
••
• |
• |
• |
• |
• |
• |
* |
|
• |
|||
• |
• |
* |
• |
• |
• |
• |
|
• |
|||
• |
• |
* |
• |
• |
• |
• |
|
• |
|||
• |
• |
* |
|
• |
|||
• |
• |
• |
|
• |
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
Пример. В данной матрице выписать миноры всех возможных порядков
|
1 |
5 |
2 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
−2 |
0 |
5 |
|
|
|
Решение
Миноры первого порядка
|
|
1 |
|
=1 |
|
5 |
|
=5 |
|
2 |
|
= 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
=3 |
|
−2 |
|
= −2 |
|
0 |
|
|
= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
5 |
2 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
−2 |
0 |
5 |
|
|
|
Миноры второго |
|
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
5 |
|
= −14 |
|
1 |
2 |
|
= −4 |
|
5 |
2 |
|
|
=8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
=10 |
|
1 |
2 |
|
=9 |
|
5 |
2 |
|
|
|
= 25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−2 |
0 |
|
|
|
−2 |
5 |
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
||||
|
3 |
1 |
|
= 2 |
|
3 |
2 |
|
=19 |
|
1 |
2 |
|
|
|
=5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−2 |
0 |
|
|
|
−2 |
5 |
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
||||
Минор третьего порядка |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
5 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
3 2 |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
1 |
2 |
|
=1 |
−5 |
+2 |
=1 5 −5 19 +2 2 = −86 |
||||
|
|
−2 |
0 |
5 |
|
|
0 |
5 |
|
−2 5 |
|
−2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рангом матрицы A называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Обозначение: r(A) или rang(A)
r(Am×n)≤min(m,n)
Пример. Определить ранг матрицы |
|
3 |
1 |
−2 |
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
5 |
2 |
|
|
|
|
Решение
m = 2 n =5 r ≤ min(m, n)
r ≤ min(2,5) r ≤ 2
13 12 = 6 −1 =5
r = 2
Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r(A).
Замечание. Базисных миноров может быть несколько.